Cho hàm số $y=\frac{x+2}{2x+3} \left(1\right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ 0.

I. Đạo hàm tại một điểm

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

 Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 thuộc (a; b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) : $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$  thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y= f(x) tại điểm $x_0$ và được kí hiệu là f'(x0). Vậy $\boxed{f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}.}$

* Chú ý:

Đại lượng ∆x = x- $x_0$ được gọi là số gia của đối số tại x0.

Đại lượng ∆y= f(x) – f(x0)= f(x0 + ∆x) –  f(x0) được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậy:$y\text{'}\left(x_0\right)=\underset{\Delta x\to \infty }{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}$.

2. Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa:

Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 bằng định nghĩa, ta có quy tắc sau đây:

+ Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại $x_0$ tính:

∆y= f(x0 + ∆x) – f( $x_0$) .

+ Bước 2: Lập tỉ số $\frac{\Delta y}{\Delta x}.$.

+ Bước 3: Tìm $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}.$

Ví dụ 1. Cho hàm số $y=\sqrt{2x-3}$, có $\Delta x$ là số gia của đối số tại x = 2. Khi đó $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ bằng bao nhiêu.

Lời giải

Tập xác định của hàm số đã cho là: $D=\left[\frac{3}{2};+\infty \right)$.

Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0 = 2. Ta có:

$\Delta y=f\left(2+\Delta x\right)-f\left(2\right)=\sqrt{2.\left(2+\Delta x\right)-3}-\sqrt{2.2-3}=\sqrt{2\Delta x+1}-1$

Khi đó:

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\sqrt{2\Delta x+1}-1}{\Delta x}$

$\Rightarrow \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{2\Delta x+1}-1}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\left(\sqrt{2\Delta x+1}-1\right).\left(\sqrt{2\Delta x+1}+1\right)}{\Delta x.\left(\sqrt{2\Delta x+1}+1\right)}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{2\Delta x}{\Delta x.\left(\sqrt{2\Delta x+1}+1\right)}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{2}{\sqrt{2\Delta x+1}+1}=1$

Vậy f’(2) = 1.

3. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Định lý 1. Nếu hàm số y= f( x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

Chú ý:

+ Nếu hàm số y= f(x) gián đoạn tại x0 thì hàm số không có đạo hàm tại điểm đó.

+ Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

Ví dụ 2. Chẳng hạn hàm số $y=f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}-x^{2}khix\ge 0\\ xkhix<0\end{array}\right.$ liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại đó. Ta nhận xét rằng đồ thị của hàm số này là một đường liền, nhưng bị gãy tại điểm O(0;0) như hình vẽ sau:

4. Ý nghĩa của đạo hàm

a) Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

+) Định lí: Đạo hàm của hàm số y= f(x) tại điểm x = $x_0$ là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của đồ thị hàm số y= f( x) tại điểm M0(x0; f(x0)).

+) Định lí: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0; f(x0)) là:

y – y0= f’(x0) ( x- x0) trong đó y0= f(x0).

Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x^3 – 3x^2 + 2 tại điểm có hoành độ x = 3.

Lời giải

Bằng định nghĩa ta tính được: y’(3) = 9.

Do đó hệ số góc của tiếp tuyến là 9.

Ta có: y(3) = 2.

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm có hoành độ x = 3 là:

y = 9(x – 3) + 2 = 9x – 27 + 2 = 9x – 25.

b) Ý nghĩa vật lý của đạo hàm:

+) Vận tốc tức thời:

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s= s(t); với s= s(t) là một hàm số có đạo hàm. Vận tốc tức thời tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số s= s(t) tại t0: v(t0) = s’(t0).

+) Cường độ tức thời:

Nếu điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian: Q= Q(t) ( là hàm số có đạo hàm) thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số Q= Q(t) tại t0: I(t0) = Q’(t0) .

Ví dụ 4. Một xe máy chuyển động theo phương trình : s(t)= t^2 + 6t+ 10 trong đó t đơn vị là giây; s là quãng đường đi được đơn vị m. Tính vận tốc tức thời của xe tại thời điểm t= 3.

Lời giải

Phương trình vận tốc của xe là v( t)=s' ( t)=2t+6 ( m/s)

⇒ Vận tốc tức thời của xe tại thời điểm t= 3 là:

V(3)= 2.3+ 6 = 12 (m/s)

Chọn A.

II. Đạo hàm trên một khoảng

Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.

Khi đó ta gọi hàm số f’:$\left(a;b\right)\to ℝ$

 $x\mapsto f\text{'}\left(x\right)$                                          

là đạo hàm của hàm số y = f(x) trên khoảng (a;b), kí hiệu là y’ hay f’(x).

Ví dụ 5. Hàm số y = x^2 – 2x có đạo hàm y’ = 2x – 2 trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$.

Hàm số $y=\frac{2}{x}$ có đạo hàm $y\text{'}=-\frac{2}{x^2}$ trên các khoảng $\left(-\infty ;0\right)$ và $\left(0;+\infty \right)$.

III. Đạo hàm của một hàm số thường gặp

1. Định lý 1

Hàm số y = x^n $\left(n\in \mathbb{N},n>1\right)$ có đạo hàm tại mọi $x\in ℝ$ và (x^n)’ = n.x^n-1.

2. Định lý 2

Hàm số $y=\sqrt{x}$ có đạo hàm tại mọi x dương và ${\left(\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Ví dụ 1.

a) Tính đạo hàm y = x^3;

b) Tính đạo hàm tại x = 5.

Lời giải

a) Ta có: y’ = 3x^2;

b) Ta có:$y\text{'}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

Đạo hàm của hàm số tại x = 5 là:$y\text{'}\left(5\right)=\frac{1}{2\sqrt{5}}.$

IV. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

1. Định lí 3

Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định, ta có:

(u + v)’ = u’ + v’;

(u – v)’ = u’ – v’;

(uv)’ = u’.v + u.v’;

${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\text{'}}=\frac{u\text{'}v-u.v\text{'}}{v^2}\left(v=v\left(x\right)\ne 0\right)$.

2. Hệ quả

Hệ quả 1. Nếu k là một hằng số thì (ku)’ = k.u’.

Hệ quả 2.${\left(\frac{1}{v}\right)}^{\text{'}}=-\frac{v\text{'}}{v^2}.$

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = x^5 – 2x^2 + 3x + 6;

b) y = (x^2 + 1)(2x – 3);

c)$y=\frac{7x^2}{x-1}$ .

Lời giải

a) y = x^5 – 2x^2 + 3x

$\Rightarrow$y’ = (x5 – 2x^2 + 3x)’

         = (x5)’ – (2x^2)’ + (3x)’

         = 5x^4 – 4x + 3.

b) y = (x^2 + x).2x

$\Rightarrow$y’ = (x^2 + x)’.2x + (x^2 + 1)(2x)’

         = [(x^2)’ + x’].2x + (x^2 + 1).2

         = (2x + 1).2x + 2x^2 + 2

         = 4x^2 + 2x + 2x^2 + 2

         = 6x^2 + 2x + 2.

c) $y=\frac{7x^2}{x-1}$

$\Rightarrow y=\frac{{\left(7x^2\right)}^{\text{'}}\left(x^3-2x\right)-\left(7x^2\right){\left(x^3-2x\right)}^{\text{'}}}{{\left(x^3-2x\right)}^2}$

$=\frac{14x\left(x^3-2x\right)-7x^2\left(2x^2-2\right)}{{\left(x^3-2x\right)}^2}$

$=\frac{14x^4-28x^2-14x^2+14x}{{\left(x^3-2x\right)}^2}$

$=\frac{-28x^2+14x}{{\left(x^3-2x\right)}^2}$.

V. Đạo hàm hàm hợp

Định lý 4. Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm x là$u_x^{\text{'}}$ và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là $y_x^{\text{'}}$ thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là: $y_x^{\text{'}}=y_u^{\text{'}}.u_x^{\text{'}}$.

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số: $y=\sqrt{x^2+2x}$

Lời giải

Đặt $u=x^2+2x$ thì $y=\sqrt{u}$

$y\text{'}=\frac{u\text{'}}{2\sqrt{u}}=\frac{\left(x^2+2x\right)\text{'}}{2\sqrt{x^2+2x}}=\frac{2x+2}{2\sqrt{x^2+2x}}$.

VI. Đạo hàm hàm lượng giác

1. Giới hạn $\frac{\mathrm{s}\text{inx}}{x}$

Định lý 1.

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{s}\text{inx}}{x}=1$.

Ví dụ 1. Tính $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sin \left(x-1\right)}{x^2-1}$

Lời giải

Đặt x – 1 = t.

Khi x tiến đến 1 thì t tiến đến 0.

$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\sin t}{t\left(t+2\right)}=\underset{t\to 0}{\lim }\left(\frac{\sin t}{t}.\frac{1}{t+2}\right)=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\sin t}{t}.\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{t+2}=1.\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$

2. Đạo hàm của hàm số y = sinx

Định lý 2.

Hàm số y = sinx có đạo hàm tại mọi $x\in ℝ$ và (sinx)’ = cosx.

Chú ý:

Nếu y = sinu và u = u(x) thì: (sinu)’ = u’.cosu

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số $y={\left[\sin \left(2x+3\right)\right]}^2$

Lời giải

$y\text{'}=2{\left[\sin \left(2x+3\right)\right]}^{\text{'}}.\sin \left(2x+3\right)=2\left[cos\left(2x+3\right).{\left(2x+3\right)}^{\text{'}}\right].\sin \left(2x+3\right)$

$y\text{'}=4cos\left(2x+3\right).\sin \left(2x+3\right)$.

3. Đạo hàm của hàm số y = cosx

Định lý 3.

Hàm số y = cosx có đạo hàm tại mọi  $x\in ℝ$ và (cosx)’ = - sinx.

Chú ý:

Nếu y = cosu và u = u(x) thì: (cosu)’ = - u’.sinu

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số $y=cos\left(\frac{\pi }{2}-x\right)$ tại $x=\frac{\pi }{3}$.

Lời giải

Đặt $u=\frac{\pi }{2}-x$

$\Rightarrow y\text{'}=\left(\cos u\right)\text{'}=-u\text{'}.\sin u=-{\left(\frac{\pi }{2}-x\right)}^{\text{'}}\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right).$

Thay $x=\frac{\pi }{3}$ vào y’ ta được:

$y\text{'}\left(\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}.$

Vậy giá trị của đạo hàm của hàm số tại  $x=\frac{\pi }{3}$ là $\frac{1}{2}$

4. Đạo hàm của hàm số y = tanx

Định lý 4.

Hàm số y = tanx có đạo hàm tại mọi $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ và (tanx)’ = $\frac{1}{{\text{cos}}^{2}x}$.

Chú ý:

Nếu y = u và u = u(x) thì: (tanu)’ = $\frac{u\text{'}}{{\text{cos}}^{2}u}.$

Ví dụ 4. Tính đạo hàm $y=\sqrt{2+t\text{anx}}$

Lời giải

Đặt u = 2 + tanx

$y\text{'}=\frac{u\text{'}}{2\sqrt{u}}=\frac{\left(2+\tan x\right)\text{'}}{2\sqrt{2+t\text{anx}}}=\frac{\frac{1}{co{s}^{2}x}}{2\sqrt{2+t\text{anx}}}=\frac{1}{2.co{s}^{2}x\sqrt{2+t\text{anx}}}$.

5. Đạo hàm của hàm số y = cotx

Định lý 5.

Hàm số y = cotx có đạo hàm tại mọi $x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ và (cotx)’ = $-\frac{1}{{\text{sin}}^{2}x}$.

Chú ý:

Nếu y = u và u = u(x) thì: (cotu)’ = $-\frac{u\text{'}}{{\sin }^{2}u}.$

Ví dụ 5. Tính đạo hàm của hàm y = cot x^2.

Lời giải

y’ = (cot x^2)’ = (x^2)’. $-\frac{1}{{\left(\mathrm{s}{\text{inx}}^2\right)}^2}$= $-\frac{2x}{{\left(\mathrm{s}{\text{inx}}^2\right)}^2}$.

6. Bảng quy tắc tính đạo hàm tổng hợp:

VII. Đạo hàm cấp hai

1. Định nghĩa

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm x ∈ (a;b). Khi đó, hệ thức y’ = f’(x) xác định một hàm số mới trên khoảng (a; b). Nếu hàm số y’ = f’(x) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y’ là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) và kí hiệu là y” hoặc f”(x).

Chú ý:

+ Đạo hàm cấp 3 của hàm số y = f(x) được định nghĩa tương tự và kí hiệu là y”’ hoặc f”’(x) hoặc f(3)(x).

+ Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp n – 1 , kí hiệu f(n–1)(x) (n ∈ N, n ≥ 4). Nếu f(n–1)(x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f(x), kí hiệu y(n) hoặc f(n)(x).

f(n)(x) = (f(n–1)(x))’.

Ví dụ 1. Với y = 7x^4 + 8x + 12. Tính y(5)

Lời giải

Ta có: y’ = 28x^3 + 8, y” = 84x^2, y”’ = 168x, y(4) = 168, y(5) = 0.

Vậy y(5) = 0.

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Xét chuyển động xác định bởi phương trình s = f(t), trong đó s = f(t) là một hàm số có đạo hàm đến cấp hai. Vận tốc tức thời tại t của chuyển động là v(t) = f’(t).

Lấy số gia $\Delta t$ tại t thì v(t) có số gia tương ứng là $\Delta v$.

Tỉ số$\frac{\Delta v}{\Delta t}$ được gọi là gia tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian $\Delta t$. Nếu tồn tại: $v\text{'}\left(t\right)=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta v}{\Delta t}=\gamma \left(t\right)$.

Ta gọi $v\text{'}\left(t\right)=\gamma \left(t\right)$ là gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t.

Vì v(t) = f’(t) nên: $\boxed{\gamma \left(t\right)=f"\left(t\right)}$.

Đao hàm cấp hai f”(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t.

Ví dụ 2. Tính gia tốc tức thời của sự rơi tự do $s=\frac{1}{2}g{t}^2.$

Lời giải

Ta có: $s\text{'}=gt.$

Gia tốc tức thời của sự tơi tự do là: $\gamma =s"\left(t\right)=s\text{'}\left(t\right)=g\approx \mathrm{9,8}\left(m/s^2\right)$.

Vậy gia tốc tức thời của sự rơi tự do là:$g\approx \mathrm{9,8}m/s^2.$