a) ( Dành cho các lớp 8B, 8C, 8D, 8E )
Cho a, b, c là các số thực đôi một khác nhau thỏa mãn $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 a b c$ . Tính giá trị của biểu thức $M = (a + b) (b + c) (c + a) + a b c$
b) ( Dành riêng cho lớp 8A)
Với a, b là các số thực thỏa mãn $a^{3} + b^{3} - 3 a b = - 18$ .
Chứng minh rằng $- 9 < a + b < - 1$

Xem lời giải

Giải bởi Vietjack

a) Ta có:

$a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 a b c \Rightarrow (a^{3} + b^{3}) + c^{3} - 3 a b c = 0 \Rightarrow a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c - 3 a^{2} b - 3 a b^{2} = 0 \Rightarrow {(a + b)}^{3} + c^{3} - 3 a b (a + b + c) = 0 \Rightarrow (a + b + c) [{(a + b)}^{2} - (a + b) c + c^{2}] - 3 a b (a + b + c) = 0 \Rightarrow (a + b + c) [a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c - b c + c^{2} - 3 a b] = 0 \Rightarrow (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - a c - b c) = 0 \Rightarrow \frac{1}{2} (a + b + c) [{(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(c - a)}^{2}] = 0 \Rightarrow [\begin{array}{l} a + b + c = 0 \\ a = b = c \end{array} T H 1 : a + b + c = 0 \Rightarrow a + b = - c; b + c = - a; c + a = - b$

Khi đó $M = (- c) (- a) (- b) + a b c = - a b c + a b c = 0$

TH2: $a = b = c$

$\Rightarrow M = 2 a .2 b .2 c + a b c = 8 a b c + a b c = 9 a b c$

b) Ta có

$a^{3} + b^{3} - 3 a b = - 18 \Rightarrow a^{3} + b^{3} + 1 - 3 a b = - 17 \Rightarrow {(a + b)}^{3} - 3 a b (a + b) + 1 - 3 a b = - 17 \Rightarrow (a + b + 1) [{(a + b)}^{2} - (a + b) + 1] - 3 a b (a + b + 1) = - 17 \Rightarrow (a + b + 1) (a^{2} + b^{2} + 1 - a b - a - b) = - 17 < 0 \Rightarrow (a + b + 1) (a^{2} + b^{2} + 1 - a b - a - b) < 0$

mà $a^{2} + b^{2} + 1 - a b - a - b = \frac{1}{2} [{(a - b)}^{2} + {(a - 1)}^{2} + {(b - 1)}^{2}] > 0$

ra vì theo giả thiết không thể đồng thời bằng)

$\Rightarrow a + b + 1 < 0 \Rightarrow a + b < - 1$

Ta có:

${(a + b)}^{3} - 3 a b (a + b + 1) = - 18 {(a - b)}^{2} \geq 0 \Rightarrow 3 a b \leq \frac{3}{4} {(a + b)}^{2} \Rightarrow 3 a b (a + b + 1) \geq \frac{3}{4} {(a + b)}^{2} (a + b + 1)$

(vì $a + b + 1 < 0$ )

Đặt

$a + b = t \Rightarrow - 18 \leq t^{3} - \frac{3}{4} t^{2} (t + 1) \Rightarrow \frac{1}{4} t^{3} - \frac{3}{4} t^{2} + 18 \geq 0 \Rightarrow \frac{1}{4} (t^{3} - 3 t^{2} + 72) \geq 0 \Rightarrow t^{3} - 3 t^{2} + 72 \geq 0 \Rightarrow t^{3} \geq - 72 + 3 t^{2} \geq - 72 \Rightarrow t^{3} \geq - 72 \Rightarrow t > - 5 > - 9 \Rightarrow a + b > - 9$

Vậy $- 9 < a + b < - 1$

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 200k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết

Xem đáp án » 29/03/2022 731

Xem đáp án » 29/03/2022 190

Xem đáp án » 29/03/2022 152

Xem đáp án » 29/03/2022 101

Xem thêm »

Xem thêm »

Xem thêm »