Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại $A,\widehat{ABC}=30°$. Gọi M là trung điểm của AB, tam giác MA'C đều cạnh $2a\sqrt{3}$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối lăng trụ là ABC.A'B'C'

Tính tổng diện tích tất cả các mặt của khối đa diện đều loại {3;5} có cạnh bằng 1.

Biết $\frac{a}{b}$ (trong đó $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $a,b\in \mathbb{N}*$) là giá trị của tham số m thực để cho hàm số $y=\frac{2}{3}{x}^3-m{x}^2-2\left(3m^2-1\right)x+\frac{2}{3}$ có hai điểm cực trị $x_1,x_2$ sao cho $x_1{x}_2+2\left(x_1+x_2\right)=1$. Tính giá trị biểu thức $S=a^2+b^2$

Cho hình thang cân ABCD có các cạnh AB=2a, CD=4a và cạnh bên AD=BC=3a. Tính theo a thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình thang cân ABCD xung quanh trục đối xứng của nó.

Hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+3x+1$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{4-x^2}}{x^2-5x+6}$ là 

Cho hình chóp S.ABCD có $SA\perp \left(ABCD\right),AC=a\sqrt{2},S_{ABCD}=\frac{3a^2}{2}$ và góc giữa đường thẳng SC và mặt phằng (ABCD) bằng ${60}^0$. Gọi H  là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Tính theo a thể tích khối chóp H.ABCD

Bất phương trình ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x^2+4x}>\frac{1}{32}$ có tập nghiệm S=(a,b). Khi đó giá trị của b-a là

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, tam giác SAB đều, góc giữa (SCD) và (ABCD) bằng ${60}^0$. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Biết hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) nằm trong hình vuông ABCD. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SM  và AC

Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy $R=a\sqrt{2}$, góc ở đỉnh bằng ${60}^0$. Diện tích xung quanh của hình nón bằng

Trong mặt phẳng (P) cho tam giác OAB cân tại $O,OA=OB=2a,\widehat{AOB}=120°$. Trên đường thẳng vuông góc với măt phẳng (P) tại O lấy hai điểm C, D , nằm về hai phía của mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC vuông tại C và tam giác ABD đều. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Các nghiệm của phương trình $2\left(1+\cos x\right)\left(1+{\cot }^{2}x\right)=\frac{\sin x-1}{\sin x+\cos x}$ được biểu diễn bởi bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác?

Với hai số thực dương a, b tùy ý và $\frac{{\log }_{2}a.{\log }_{5}2}{1+{\log }_{5}2}+\log b=1$. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

Tìm hệ số của $x^4$ trong khai triển nhị thức Newton ${\left(2x+\frac{1}{\sqrt[5]{x}}\right)}^n$với x>0, biết n là số tự nhiên lớn nhất thỏa mãn $A_n^5\le 18A_{n-2}^4$

Cho hình chóp S.ABC có độ dài cạnh $SA=BC=x,SB=AC=y,SC=AB=z$ thỏa mãn điều kiện $x^2+y^2+z^2=9$. Tính giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABC

Số nghiệm của phương trình $\cos x=\frac{1}{2}$ thuộc $\left[-2\pi ;2\pi \right]$ là