Trong không gian Oxyz. Cho $d:\frac{x-4}{2}=\frac{y-5}{-1}=\frac{z-3}{2}$ và hai điểm $A\left(3;1;2\right);B\left(-1;3;-2\right)$. Mặt cầu tâm I bán kính R đi qua hai điểm hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng d. Khi R đạt giá trị nhỏ nhất thì mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, I là $\left(P\right):2x+by+c\text{z}+d=0.$ Tính $d+b-c.$

Chọn ngẫu nhiên một số trong 10 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được số nguyên tố bằng

Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right),$ có bảng biến thiên như hình sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Có bao nhiêu số nguyên dương y sao cho ứng với mỗi y có không quá 10 số nguyên x thỏa $\left(3^{x+1}-\sqrt{3}\right)\left(3^x-y\right)<0$ mãn?

Cho hàm số f(x) và có y=f’(x) là hàm số bậc bốn và có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số điểm cực đại của hàm số $g\left(x\right)=f\left({\left|x\right|}^3\right)-\left|x\right|$ là

Đồ thị của hàm số $y=-x^4+2x^2$ cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?

Cổ động viên bóng đá của đội tuyển Indonesia muốn làm một chiếc mũ có dạng hình nón sơn hai màu Trắng và Đỏ như trên quốc kỳ. Biết thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân. Cổ động viên muốn sơn màu Đỏ ở bề mặt phần hình nón có đáy là cung nhỏ $\stackrel{⏜}{MBN}$, phần còn là của hình nón sơn màu Trắng. Tính tỉ số phần diện tích hình nón được sơn màu Đỏ với phần diện tích sơn màu Trắng.

Đạo hàm của hàm số y = 2021^x là:

Nếu $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left[2020f\left(x\right)+\sin 2x\right]\text{d}x=2021$ thì $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$ bằng

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}2x-4\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi\hspace{0.17em}}x\ge 4\\ \frac{1}{4}{x}^3-x^2+x\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi\hspace{0.17em}}x<4\end{array}\right.$. Tích phân $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left(2{\sin }^{2}x+3\right)\sin 2x\text{d}x$ bằng

Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị là đường cong (C) trong hình bên. Hàm số f(x) đạt cực trị tại hai điểm x₁, x₂ thỏa $f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)=0$. Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị (C); M, N, K là giao điểm của (C) với trục hoành; S là diện tích của hình phẳng được gạch trong hình, S₂ là diện tích tam giác NBK. Biết tứ giác MAKB nội tiếp đường tròn, khi đó tỉ số $\frac{S_1}{S_2}$ bằng

Hình trụ có đường cao h=2cm và đường kính đáy là 10cm. Diện tích toàn phần của hình trụ đó bằng

Hàm số $F\left(x\right)=x^3-2x^2+3$ là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau?

Với a là số thực dương tùy ý, ${\log }_5\left(\frac{25}{a}\right)$ bằng

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai số phức z₁ có điểm biểu diễn M , số phức z₂ có điểm biểu diễn là N thỏa mãn $\left|z_1\right|=1$,$\left|z_2\right|=3$ và $\widehat{MON}=120°$. Giá trị lớn nhất của $\left|3{\text{z}}_1+2z_2-3i\right|$ là M₀, giá trị nhỏ nhất của $\left|3{\text{z}}_1-2z_2+1-2i\right|$ là m₀. Biết $M_0+m_0=a\sqrt{7}+b\sqrt{5}+c\sqrt{3}+d$, với $a,b,c,d\in \mathbb{Z}$. Tính $a+b+c+d$?

Cho hai số phức $z_1=3+2i$ và $z_2=4i$. Phần thực của số phức $z_1.z_2$ là