Một mặt cầu tâm \(O\) nằm trên mặt phẳng đáy của hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có tất cả các cạnh bằng nhau, các đỉnh \(A,B,C\) thuộc mặt cầu. Biết bán kính mặt cầu là 1. Tính tổng độ dài \(l,\) các giao tuyến của mặt cầu với các mặt bên của hình chóp thỏa mãn?
A.\(l \in \left( {1;\sqrt 2 } \right).\)
B.\(l \in \left( {2;3\sqrt 2 } \right).\)
C.\(l \in \left( {\sqrt 3 ;2} \right).\)
D. \(l \in \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};1} \right).\)
Giải bởi Vietjack
Gọi \(D\) là trung điểm của đoạn \(AB,\) kẻ \(OI \bot SD,\) dễ dàng chứng minh được \(OI \bot \left( {SAB} \right).\)
Suy ra \(I\) là tâm đường tròn \(\left( C \right)\) giao tuyến của mặt cầu tâm \(O\) với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right).\) Gọi \(M,N\) lần lượt là giao điểm của đường tròn \(\left( C \right)\) với \(SB,SA;K\) là trung điểm của \(MB.\)
Giả sử \(AB = a,\) theo giả thiết ta suy ra \(OC = 1 \Leftrightarrow \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = 1 \Leftrightarrow a = \sqrt 3 .\)
Ta có \(SD = CD = \frac{3}{2},OD = \frac{1}{2},SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}} = \sqrt 2 ,OI = \frac{{SO.OD}}{{SD}} = \frac{{\sqrt 2 }}{3},\) \(ID = \frac{{O{D^2}}}{{SD}} = \frac{1}{6},SI = \frac{4}{3}.\)
Gọi \(r\) là bán kính đường tròn \(\left( C \right),\) khi đó \(r = \sqrt {1 - O{I^2}} = \frac{{\sqrt 7 }}{3}.\)
Ta có tam giác \(SIK\) vuông tại \(K\) và góc \(\angle ISK = {30^0}\) suy ra \(IK = \frac{1}{2}IS = \frac{2}{3}\)
Xét tam giác \(MIK\) có \(\cos I = \frac{{IK}}{{IM}} = \frac{2}{{\sqrt 7 }} \Rightarrow I \approx {28^0} \Rightarrow \angle MIN \approx {64^0}\)
Khi đó chiều dài cung \(MN\) bằng \(\frac{{64}}{{180}}.\frac{{\sqrt 7 }}{3} = \frac{{16\sqrt 7 }}{{135}}.\) Vậy tổng độ dài \(l,\) các giao tuyến của mặt cầu với các mặt bên của hình chóp là \(l = \frac{{16\sqrt 7 }}{{45}} \approx 0,94.\)
Đáp án D
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình \({\log _3}x.{\log _9}x.{\log _{27}}x.{\log _{81}}x = \frac{2}{3}\) bằng
Cho phương trình \(\sin 2x - \cos 2x + \left| {\sin x + \cos x} \right| - \sqrt {2{{\cos }^2}x + m} - m = 0.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình có nghiệm thực?
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của \(a\) để đồ thị hàm số \(y = {x^3} + \left( {a + 10} \right){x^2} - x + 1\) cắt trục hoành tại đúng một điểm?
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} + mx - \frac{1}{{5{x^2}}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)?\)
Cho khối tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(a\) và thể tích bằng \(\frac{{{a^3}}}{{4\sqrt 3 }}.\) Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy?
Biết rằng \[a\] là số thực dương để bất phương trình \[{a^x} \ge 9x + 1\] nghiệm đúng với mọi \[x \in \mathbb{R}\]. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Đường cong hình sau là đồ thị của một trong bốn hàm số được cho dưới đây, hỏi đó là hàm số nào?
Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \({\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} + m{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = 1\) có hai nghiệm phân biệt là khoảng \(\left( {a;b} \right).\) Tính \(T = 3a + 8b.\)
Với \(a,b\) là các số thực dương tùy ý và \(a \ne 1.\) Ta có \({\log _{{a^2}}}b\) bằng
Tính diện tích xung quanh \(S\) của hình nón có bán kính đáy \(r = 4\) và chiều cao \(h = 3.\)
Tìm tập nghiệm \(S\) của phương trình \({3^{2x + 1}} = \frac{1}{3}.\)
Tìm tập xác định \(D\) của hàm số \(y = \ln \sqrt {{x^2} - 3x + 2} \)
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 3\) và công sai \(d = 2.\) Tính \({u_9}.\)
Tìm tọa độ véc tơ \(\overrightarrow {AB} \) biết \(A\left( {1;2; - 3} \right),B\left( {3;5;2} \right)\)
