Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right),\) hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) vuông góc với nhau, \(SB = a\sqrt 3 ,\widehat {BSC} = {45^0},\widehat {ASB} = {30^0}.\) Thể tích khối chóp SABC là \(V.\) Tìm tỉ số \(\frac{{{a^3}}}{V}.\)
A.\(\frac{8}{3}.\)
B.\(\frac{{8\sqrt 3 }}{3}.\)
C.
D.\(\frac{{2\sqrt 3 }}{3}.\)
Giải bởi Vietjack
\(\Delta SAB\) vuông tại \(A\) có \(SB = a\sqrt 3 ,\widehat {ASB} = {30^0} \Rightarrow AB = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},SA = \frac{{3a}}{2}.\)
Gọi \(K\) là hình chiếu của \(A\) trên \(SB.\) Vì \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AK \bot BC.\)
Mà \(SA \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB,BC \bot AB.\)
Do đó \(\Delta SBC\) vuông cân tại \(B,\Delta ABC\) vuông tại \(A.\)
Thể tích khối chóp \(S.ABC\) là \(V = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{3a}}{2}.\frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a\sqrt 3 = \frac{{3{a^3}}}{8} \Rightarrow \frac{{{a^3}}}{V} = \frac{8}{3}.\)
Đáp án A
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) vuông tại \(A,AB = a,BC = 2a,\) mặt bên \(ACC'A'\) là hình vuông. Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của \(AC,CC',A'B'\) và \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên \(BC.\) Tính theo \(a\) khoảng cách giữa hai đường thẳng \(MP\) và \(HN.\)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 2}},\) biết tiếp tuyến có hệ số góc \(k = - 3\)
Cho biểu thức \(P = \frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{{x - xy + {y^2}}}\) với \({x^2} + {y^2} \ne 0.\) Tính giá trị nhỏ nhất của \(P.\)
Đường thẳng \(y = {m^2}\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^4} - {x^2} - 10\) tại hai điểm phân biệt \(A,B\) sao cho tam giác \(OAB\) vuông (với \(O\) là gốc tọa độ). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Một nhóm có 6 học sinh gồm 4 nam và 2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh trong đó có đúng 2 học sinh nam?
Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác góc tạo bởi \(C'G\) và mặt đáy bằng \({30^0}.\) Tính theo \(a\) thể tích khối hộp
Cắt hình nón \(S\) bởi một mặt phẳng đi qua trục của hình nón ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng \(a\sqrt 2 .\) Tính theo \(a\) thể tích của khối nón đã cho.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R},\) hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ
Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {x - 1} \right) + \frac{{2021 - 2020x}}{{2020}}\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 5,BC = 4\). Tính thể tích của khối lăng trụ tạo thành khi cho hình chữ nhật \(ABCD\) quay quanh \(AB.\)
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{2}{{ - x + 3}}?\)
Cho số thực dương \(a\) khác 1, biểu thức \(D = {\log _{{a^3}}}a\) có giá trị bằng bao nhiêu?
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 20;2} \right]\) để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Đồ thị hàm số \(y = - {x^4} + {x^2} + 2\) cắt trục \(Oy\) tại điểm nào?
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R},\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {{x^2} - x - 2} \right)\left( {{x^3} - 6{x^2} + 11x - 6} \right).g\left( x \right)\) với \(g\left( x \right)\) là hàm đa thức có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
