Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có độ dài cạnh bên là \(2a,\) đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A,\) góc giữa \(AC'\) và mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\) bằng \({30^0}\) (tham khảo hình vẽ).
Tính theo \(a\) thể tích khối trụ có hai đáy là hai đường tròn ngoại tiếp hai đáy của lăng trụ \(ABC.A'B'C'.\)
A.\(\pi {a^3}.\)
B. \(3\pi {a^3}.\)
C.\(2\pi {a^3}.\)
D.\(4\pi {a^3}.\)
Giải bởi Vietjack
Gọi \(H\) là trung điểm của đoạn \(BC,\) vì \(\Delta ABC\) là tam giác vuông cân nên \(H\) là chân đường cao xuất phát từ đỉnh \(A\) đồng thời cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC.\)
Suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy của lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là \(HC.\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\AH \bot BB'\end{array} \right.\) nên \(AH \bot \left( {BCC'B'} \right).\)
Suy ra \(HC\) là hình chiếu vuông góc của \(AC\) lên \(\left( {BCC'B'} \right).\)
Góc giữa \(AC'\) và mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\) là \(\widehat {AC'H} = {30^0}.\)
Đặt \(HC = x \Rightarrow AC = x\sqrt 2 .\)
Áp dụng định lý Pytago trong \(\Delta ACC'\) ta được \(AC' = \sqrt {2{x^2} + 4{a^2}} .\)
Áp dụng định lý Pytago trong \(\Delta HCC'\) ta được \[HC' = \sqrt {{x^2} + 4{a^2}} .\]
Xét \(\Delta AHC'\) vuông tại \(H\) có: \(\cos \left( {{{30}^0}} \right) = \frac{{HC'}}{{AC'}} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt {\frac{{{x^2} + 4{a^2}}}{{2{x^2} + 4{a^2}}}} .\)
Khi đó: \(\frac{3}{4} = \frac{{{x^2} + 4{a^2}}}{{2{x^2} + 4{a^2}}} \Leftrightarrow 6{x^2} + 12{a^2} = 4{x^2} + 16{a^2} \Leftrightarrow x = a\sqrt 2 .\)
Thể tích khối trụ có hai đáy là hai đường tròn ngoại tiếp của lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là:
\(V = \pi {R^2}h = \pi {\left( {HC} \right)^2}CC' = \pi {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}.2a = 4\pi {a^3}.\)
Đáp án D
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) vuông tại \(A,AB = a,BC = 2a,\) mặt bên \(ACC'A'\) là hình vuông. Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của \(AC,CC',A'B'\) và \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên \(BC.\) Tính theo \(a\) khoảng cách giữa hai đường thẳng \(MP\) và \(HN.\)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 2}},\) biết tiếp tuyến có hệ số góc \(k = - 3\)
Cho biểu thức \(P = \frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{{x - xy + {y^2}}}\) với \({x^2} + {y^2} \ne 0.\) Tính giá trị nhỏ nhất của \(P.\)
Đường thẳng \(y = {m^2}\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^4} - {x^2} - 10\) tại hai điểm phân biệt \(A,B\) sao cho tam giác \(OAB\) vuông (với \(O\) là gốc tọa độ). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác góc tạo bởi \(C'G\) và mặt đáy bằng \({30^0}.\) Tính theo \(a\) thể tích khối hộp
Một nhóm có 6 học sinh gồm 4 nam và 2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh trong đó có đúng 2 học sinh nam?
Cắt hình nón \(S\) bởi một mặt phẳng đi qua trục của hình nón ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng \(a\sqrt 2 .\) Tính theo \(a\) thể tích của khối nón đã cho.
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 5,BC = 4\). Tính thể tích của khối lăng trụ tạo thành khi cho hình chữ nhật \(ABCD\) quay quanh \(AB.\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R},\) hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ
Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {x - 1} \right) + \frac{{2021 - 2020x}}{{2020}}\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Cho số thực dương \(a\) khác 1, biểu thức \(D = {\log _{{a^3}}}a\) có giá trị bằng bao nhiêu?
Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{2}{{ - x + 3}}?\)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 20;2} \right]\) để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Đồ thị hàm số \(y = - {x^4} + {x^2} + 2\) cắt trục \(Oy\) tại điểm nào?
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R},\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {{x^2} - x - 2} \right)\left( {{x^3} - 6{x^2} + 11x - 6} \right).g\left( x \right)\) với \(g\left( x \right)\) là hàm đa thức có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
