Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O\) cạnh \[a.\] Biết \(SA = SB = SC = a.\) Đặt \(SD = x\left( {0 < x < a\sqrt 3 } \right).\) Tính \(x\) theo \(a\) sao cho \(AC.SD\) đạt giá trị lớn nhất.
A.\(\frac{{a\sqrt 6 }}{{12}}.\)
B. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)
C.\(\frac{{a\sqrt 6 }}{2}.\)
D. \(a\sqrt 3 .\)
Giải bởi Vietjack
Đáp án C.
Ta có \(\Delta SAC = \Delta ABC\left( {c - c - c} \right)\) và \(\Delta SAC,\Delta ABC\) lần lượt cân tại \(S\) và \(B.\)
Khi đó \(SO = BO = \frac{{BD}}{2}.\) Suy ra \(\Delta SBD\) vuông tại \(S\) (đường trung tuyến bằng \(\frac{1}{2}\) cạnh đối diện).
Trong \(\Delta SBD\) ta có: \(BD = \sqrt {S{B^2} + S{D^2}} = \sqrt {{a^2} + {x^2}} .\)
Trong \(\Delta ABD\) áp dụng công thức đường trung tuyến ta có:
\(AO = \sqrt {\frac{{2\left( {A{B^2} + A{D^2}} \right)}}{4} - \frac{{B{D^2}}}{4}} = \sqrt {\frac{{2\left( {{a^2} + {a^2}} \right) - \left( {{a^2} + {x^2}} \right)}}{4}} = \frac{{\sqrt {3{a^2} - {x^2}} }}{2}.\)
Suy ra \(AC = 2AO = \sqrt {3{a^2} - {x^2}} .\)
Khi đó \(AC.SD = \sqrt {3{a^2} - {x^2}} .x = \sqrt {\left( {3{a^2} - {x^2}} \right){x^2}} .\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) ta có: \(AC.SD = \sqrt {\left( {3{a^2} - {x^2}} \right){x^2}} \le \frac{{3{a^2} - {x^2} + {x^2}}}{2} = \frac{{3{a^2}}}{2}\)
Vậy \(\max AC.SD = \frac{{3{a^2}}}{2}.\)
Dấu “=” xảy ra \(3{a^2} - {x^2} = {x^2} \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{3{a^2}}}{2} \Rightarrow x = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.\)
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Đội văn nghệ của lớp 12A có 5 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh của đội văn nghệ sao cho 2 học sinh có 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ.
Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x + 4} - 2}}{{{x^2} - x}}\) là
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ:
Gọi \(S\) là tập các giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {4\left| {\sin x} \right| + m} \right) - 3 = 0\) có đúng 12 nghiệm phân biệt thuộc nửa khoảng \(\left( {0;4\pi } \right].\) Tổng các phần tử của \(S\) bằng
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^5} + 3{x^3} - 4m.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {\sqrt[3]{{f\left( x \right) + m}}} \right) = {x^3} - m\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {1;2} \right]?\)
Gọi \(S\) là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau lập từ các số \(0;1;2;3;4;5;6;7.\) Chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập hợp \(S.\) Tính xác suất để số được chọn có đúng 2 chữ số chẵn.
Tập nghiệm của bất phương trình \({6.9^x} - {12.6^x} + {6.4^x} \le 0\) có dạng \(S = \left[ {a;b} \right].\) Giá trị của biểu thức \({a^2} + {b^2}\) bằng
Hệ số của \({x^5}\) trong khai triển \({x^2}{\left( {x - 2} \right)^5} + {\left( {2x - 1} \right)^6}\) bằng
Phương trình tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{4 - 3x}}{{4x + 5}}\) là
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị như hình vẽ. Phương trình \(f\left( {2 - f\left( x \right)} \right) = 0\) có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?
Gọi \({x_1},{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) là hai nghiệm của phương trình \({3^{2x - 1}} - {4.3^x} + 9 = 0.\) Giá trị của biểu thức \(P = {x_2} - 2{x_1}\) bằng </>
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a,SA\) vuông góc với mặt đáy và \(SA = a\sqrt 2 .\) Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng
Cho \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng có \({u_1} = 3\) và công sai d=2. Tìm \({u_{20}}?\)
