Cho phương trình: ${\sin ^3}x + 2\sin x + 3 = \left( {2{{\cos }^3}x + m} \right)\sqrt {2{{\cos }^3}x + m - 2} + 2{\cos ^3}x + {\cos ^2}x + m.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình trên có đúng một nghiệm $x \in \left[ {0;\frac{{2\pi }}{3}} \right)?$ 

Cho tứ diện $SABC$ có các cạnh $SA,SB,SC$ đôi một vuông góc với nhau. Biết $SA = 3a,SB = 4a,SC = 5a.$ Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối tứ diện $SABC$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật với $AB = a,AD = 2a,SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = a\sqrt 3 .$ Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng 

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{m}{3}{x^3} - 2m{x^2} + \left( {3m + 5} \right)x$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$ 

Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}.$ Đồ thị hàm số $f'\left( x \right)$ như hình vẽ dưới đây

 Xét hàm số $g\left( x \right) = f\left( x \right) - \frac{1}{3}{x^3} - \frac{3}{4}{x^2} + \frac{3}{2}x + 2019.$ Trong các mệnh đề sau:

$\left( I \right)g\left( 0 \right) < g\left( 1 \right).$

$\left( {II} \right)\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;1} \right]} g\left( x \right) = g\left( { - 1} \right).$

$\left( {III} \right)$ Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( { - 3; - 1} \right).$

$\left( {IV} \right)\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3;1} \right]} g\left( x \right) = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3;1} \right]} \left\{ {g\left( { - 3} \right);g\left( 1 \right)} \right\}.$

Số mệnh đề đúng là

Cho hàm số $y = f'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ.

 Hàm số $g\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right) - \frac{{{x^6}}}{3} + {x^4} - {x^2}$ đạt cực tiểu tại bao nhiêu điểm?

Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a\sqrt 2 ,$ cạnh bên bằng $2a.$ Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SCD} \right).$ Tính $\cos \alpha .$

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 2$ và công bội $q = 2.$ Tính ${u_3}?$ 

Cho hai dãy ghế đối diện nhau mỗi dãy có 5 ghế. Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh, gồm 5 nam, 5 nữ ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi. Tính xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ.

Giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - 8{x^2} + 16x - 9$ trên đoạn $\left[ {1;3} \right]$ là 

Cho hàm số $y = - {x^4} + 2{x^2}$ có đồ thị như hình vẽ.

Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để phương trình $- {x^4} + 2{x^2} = m$ có hai nghiệm phân biệt.

Tìm hệ số $h$ của số hạng chứa ${x^5}$ trong khai triển ${\left( {{x^2} + \frac{2}{x}} \right)^7}?$ 

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành và có thể tích $V.$ Gọi $E$ là điểm trên cạnh $SC$ sao cho $EC = 2ES.$ Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $AE$ và song song với đường thẳng $BD,\left( \alpha \right)$ cắt hai cạnh $SB,SD$ lần lượt tại $M,N.$ Tính theo $V$ thể tích khối chóp $S.AMEN.$ 

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ { - 4;4} \right]$ và có bảng biến thiên trên đoạn $\left[ { - 4;4} \right]$ như sau

Phát biểu nào sau đây đúng?

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a,SA \bot \left( {ABC} \right),$ góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng ${60^0}.$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $SB$ bằng:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau

Biết giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là $M,m.$ Giá trị biểu thức $P = {M^2} + {m^2}$ bằng