Cho các số thực dương \(a,b,x,y\) thỏa mãn \(a >1,b >1\) và \({a^{x - 1}} = {b^y} = \sqrt[3]{{ab}}.\) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 3x + 4y\) thuộc tập hợp nào dưới đây?
A.\(\left( {7;9} \right].\)
B.\(\left( {11;13} \right).\)
C.\(\left( {1;2} \right).\)
D.\(\left[ {5;7} \right).\)
Giải bởi Vietjack
Đáp án A.
Ta có \({a^{x - 1}} = {b^y} = \sqrt[3]{{ab}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 + \frac{1}{3}{\log _a}ab = \frac{4}{3} + \frac{1}{3}{\log _a}b\\y = \frac{1}{3}{\log _b}ab = \frac{1}{3}\left( {1 + {{\log }_b}a} \right) = \frac{1}{3}\left( {1 + \frac{1}{{{{\log }_a}b}}} \right)\end{array} \right..\)
Thay vào \(P,\)ta được
\(P = 3x + 4y = 3\left( {\frac{4}{3} + \frac{1}{3}{{\log }_a}b} \right) + 4.\frac{1}{3}\left( {1 + \frac{1}{{{{\log }_a}b}}} \right)\)
\( = \frac{{16}}{3} + \left( {{{\log }_a}b + \frac{4}{{3{{\log }_a}b}}} \right)\)
Vì \(a >1,b >1\) nên \({\log _a}b >0.\) Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:
\(P = \frac{{16}}{3} + \left( {{{\log }_a}b + \frac{4}{{3{{\log }_a}b}}} \right) \ge \frac{{16}}{3} + 2\sqrt {{{\log }_a}b.\frac{4}{{3{{\log }_a}b}}} = \frac{{16 + 4\sqrt 3 }}{3}.\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({\log _a}b = \frac{4}{3}{\log _a}b \Leftrightarrow {\log _a}b = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) bằng \(\frac{{16 + 4\sqrt 3 }}{3} \in \left( {7;9} \right].\)
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Gọi \(\left( H \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 5x + 4\) và trục \(Ox.\) Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình \(\left( H \right)\) quanh trục \(Ox\) bằng:
Cho số phức \(z = \frac{{1 + 2i}}{{1 - i}}.\) Trong mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức \(z\) là điểm nào dưới đây?
Trong không gian \(Oxyz,\) cho điểm \(A\left( {1;2;5} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + z - 1 = 0.\) Phương trình đường thẳng qua \(A\) vuông góc với \(\left( P \right)\) là:
Cho khối nón có chu vi đáy \(8\pi \) và chiều cao \(h = 3.\) Thể tích khối nón đã cho bằng?
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right).\) Biết \(\frac{1}{{{x^2}}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(y = f'\left( x \right)\ln x\) và \(f\left( 2 \right) = \frac{1}{{\ln 2}}.\) Khi đó, \(\int\limits_1^2 {\frac{{f\left( x \right)}}{x}dx} \) bằng
Gọi \(M,N\) là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) trên \(\left[ {0;2} \right].\) Khi đó \(M + N\) bằng
Nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {3x - 2} \right) = 2\) là
Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng \(2a.\) Thể tích khối trụ bằng
Tỉ lệ tăng dân số hàng năm của một quốc gia \(X\) là 0,2%. Năm 1998 dân số của quốc gia \(X\) là 125500000 người. Hỏi sau bao nhiêu năm thì dân số của quốc gia \(X\) là 140000000 người?
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{6 - 3x}}\) có bao nhiêu tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc và \(OB = OC = a\sqrt 6 ,OA = a.\) Thể tích khối tứ diện đã cho bằng
Cho khối lăng trụ có diện tích đáy \(B = 8\) và chiều cao \(h = 6.\) Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
Trong không gian \(Oxyz,\) cho điểm \(A\left( {4; - 1;3} \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{1}.\) Tọa độ điểm \(M\) là điểm đối xứng với điểm \(A\) qua \(d\) là
Xét các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {i\overline z + 3 - 2i} \right| = 4.\) Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) tập hợp điểm biểu diễn số phức \(w = 2i\overline z + 5 - 6i\) là một đường tròn có tâm \(I\left( {a;b} \right)\), bán kính \(R.\) Tính \(T = a + b + R\)
