Cho số phức z thỏa mãn z+1=3. Tìm giá trị lớn nhất của T=z+4−i+z−2+i.

Gọi z=x+yi, x, y∈ℝ.Ta có, số phức z thỏa mãn z+1=3⇔x+12+y2=3.Suy ra, tập hợp tất cả các số phức thỏa mãn thỏa mãn z+1=3 là một đường tròn có tâm I−1 ; 0 và bán kính r=3.Gọi Mx ; y∈CI,3.⇒T=z+4−i+z−2+i=MI1+MI2=x+42+y−12+x−22+y+12, với I1−4 ; 1, I22 ; −1.Ta có, II1→=−3 ; 1, II2→=3 ; −1. Suy ra II1→, II2→ cùng phương và 3 điểm I, I1, I2 thẳng hàng.Ta lại có, I là trung điểm của I1, I2 và II1→=10>r, II2→=10>r. Suy ra các điểm I1, I2 nằm ngoài đường tròn CI,3.Ta có, hình biểu diễn tập hợp các điểm M.Mặt khác: MI12+MI22=2MI2+I1I222=2.3+20=26, với I1I2→=26, I1I2→=6 ;−2.Ta có, T=MI1+MI2≤2MI12+MI22⇒T=MI1+MI2≤213.Vậy, giá trị lớn nhất của T=z+4−i+z−2+i bằng 213 khi và chỉ khi MI1=MI2 ⇒ΔMI1I2 cân tại M. Chọn đáp án A

Câu hỏi:

11/07/2024 107

Cho số phức z thỏa mãn $|z + 1| = \sqrt{3}$ . Tìm giá trị lớn nhất của $T = |z + 4 - i| + |z - 2 + i|$ .

A. $2 \sqrt{13}$

Đáp án chính xác

B. $2 \sqrt{46}$

C. $2 \sqrt{26}$

D. $2 \sqrt{23}$

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Gọi $z = x + y i, (x, y \in ℝ)$ .
Ta có, số phức z thỏa mãn $|z + 1| = \sqrt{3} \Leftrightarrow {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 3$ .
Suy ra, tập hợp tất cả các số phức thỏa mãn thỏa mãn $|z + 1| = \sqrt{3}$ là một đường tròn có tâm $I (- 1; 0)$ và bán kính $r = \sqrt{3}$ .
Gọi $M (x; y) \in C (I, \sqrt{3})$ .
$\Rightarrow T = |z + 4 - i| + |z - 2 + i|$
$= M I_{1} + M I_{2} = \sqrt{{(x + 4)}^{2} + {(y - 1)}^{2}} + \sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2}}$ , với $I_{1} (- 4; 1), I_{2} (2; - 1)$ .
Ta có, $\vec{I I_{1}} = (- 3; 1), \vec{I I_{2}} = (3; - 1)$ . Suy ra $\vec{I I_{1}}, \vec{I I_{2}}$ cùng phương và 3 điểm $I, I_{1}, I_{2}$ thẳng hàng.
Ta lại có, I là trung điểm của $I_{1}, I_{2}$ và $|\vec{I I_{1}}| = \sqrt{10} > r, |\vec{I I_{2}}| = \sqrt{10} > r$ . Suy ra các điểm $I_{1}, I_{2}$ nằm ngoài đường tròn $C (I, \sqrt{3})$ .
Ta có, hình biểu diễn tập hợp các điểm M.

Mặt khác: $M {I_{1}}^{2} + M {I_{2}}^{2} = 2 M I^{2} + \frac{I_{1} {I_{2}}^{2}}{2} = 2.3 + 20 = 26$ , với $|\vec{I_{1} I_{2}}| = \sqrt{26}, \vec{I_{1} I_{2}} = (6; - 2)$ .
Ta có, $T = M I_{1} + M I_{2} \leq \sqrt{2 (M {I_{1}}^{2} + M {I_{2}}^{2})} \Rightarrow T = M I_{1} + M I_{2} \leq 2 \sqrt{13}$ .
Vậy, giá trị lớn nhất của $T = |z + 4 - i| + |z - 2 + i|$ bằng $2 \sqrt{13}$ khi và chỉ khi $M I_{1} = M I_{2}$ $\Rightarrow Δ M I_{1} I_{2}$ cân tại M.

Chọn đáp án A

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết

ĐĂNG KÝ VIP

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Có 6 bi gồm 2 bi đỏ, 2 bi vàng, 2 bi xanh. Xếp ngẫu nhiên các viên bi thành một hàng ngang. Tính xác suất để hai viên bi vàng không xếp cạnh nhau?

Xem đáp án » 16/05/2022 198

Câu 2:

Một biển quảng cáo có dạng Elip với bốn đỉnh $A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2}$ . như hình vẽ. Người ta chia Elip bởi parapol có đỉnh $B_{1}$ ,trục đối xứng $B_{1} B_{2}$ và đi qua các điểm $M, N$ .Sau đó sơn phần tô đậm với giá 200.000 đồng/ $m^{2}$ và trang trí đèn led phần còn lại với giá 500.000 đồng/ $m^{2}$ .Hỏi kinh phí sử dụng gần nhất với giá trị nào dưới đây? Biết $A_{1} A_{2} = 4 m, B_{1} B_{2} = 2 m, M N = 2 m$ .

Xem đáp án » 16/05/2022 177

Câu 3:

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông cạnh a. Biết $S A ⊥ (A B C D)$ và $S A = a \sqrt{3}$ . Thể tích của khối chóp $S . A B C D$ là:

Xem đáp án » 16/05/2022 143

Câu 4:

Cho biết $\int_{0}^{3} f (x) d x = 3, \int_{0}^{5} f (t) d t = 10$ . Tính $\int_{3}^{5} 2 f (z) d z$ .

Xem đáp án » 16/05/2022 140

Câu 5:

Cho số phức $z = 5 - 2 i$ . Tìm số phức $w = i z + \bar{z}$ .

Xem đáp án » 16/05/2022 138

Câu 6:

Trong không gian Oxyz, cho điểm $M (- 3; - 2; 1)$ . Hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (Oxy) là điểm:

Xem đáp án » 16/05/2022 138

Câu 7:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $M (3; - 2; 5)$ , $N (- 1; 6; - 3)$ . Mặt cầu đường kính MN có phương trình là:

Xem đáp án » 16/05/2022 131

Câu 8:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f' (x) = {(x + 1)}^{4} {(x - m)}^{5} {(x + 3)}^{3}$ với mọi $x \in ℝ$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [- 5; 5]$ để hàm số $g (x) = f (|x|)$ có 3 điểm cực trị?

Xem đáp án » 16/05/2022 124

Câu 9:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ sau

Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

Xem đáp án » 16/05/2022 123

Câu 10:

Điểm A trong hình bên dưới là điểm biểu diễn số phức z.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Xem đáp án » 16/05/2022 120

Câu 11:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = 2 - t \\ y = 1 + 2 t \\ z = 3 + t \end{cases}$ có một véctơ chỉ phương là

Xem đáp án » 16/05/2022 119

Câu 12:

Cho hình lăng trụ đứng $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy ABC là tam giác vuông tại C biết $A B = 2 a$ , $A C = a, B C^{'} = 2 a$ . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

Xem đáp án » 16/05/2022 115

Câu 13:

Cho hàm số $f (x) = x^{4}$ . Hàm số $g (x) = f' (x) - 3 x^{2} - 6 x + 1$ đạt cực tiểu, cực đại lần lượt tại $x_{1}, x_{2}$ . Tính $m = g (x_{1}) g (x_{2})$ .

Xem đáp án » 16/05/2022 115

Câu 14:

Gọi $F (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = e^{- x} + \cos x$ . Tìm khẳng định đúng.

Xem đáp án » 16/05/2022 111

Câu 15:

Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy $R = 4 c m$ và đường sinh $l = 5 c m$ bằng:

Xem đáp án » 16/05/2022 111

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài

Đề thi liên quan

Xem thêm »

Bộ đề thi Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (30 đề)

31 đề 93296 lượt thi Thi thử
30 đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải

31 đề 53263 lượt thi Thi thử
[Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (30 đề)

31 đề 47845 lượt thi Thi thử
Đề thi THPT Quốc gia môn Toán học năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề)

30 đề 37092 lượt thi Thi thử
Thi Online Bộ đề thi Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (30 đề)

31 đề 33558 lượt thi Thi thử
Bộ 30 đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có đáp án

21 đề 20028 lượt thi Thi thử
Đề thi thử tốt nghiệp môn Toán THPT năm 2022 có đáp án

30 đề 16202 lượt thi Thi thử
30 Đề thi thử thpt quốc gia môn Toán hay nhất có lời giải chi tiết

31 đề 12149 lượt thi Thi thử
Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề)

31 đề 11351 lượt thi Thi thử
Đề thi thử THPTGQ môn Toán cực cực hay có lời giải chi tiết

31 đề 11310 lượt thi Thi thử