Giả sử z1,z2 là hai trong các số phức thỏa mãn z−68+zi¯ là số thực. Biết rằng z1−z2=4, giá trị nhỏ nhất của z1+3z2 bằng

Giả sử z=x+yi, x,y∈ℝ.Gọi A,B lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z1,z2 . Suy ra AB=z1−z2=4.* Ta có z−68+zi¯=x−6+yi.8−y−xi=8x+6y−48−x2+y2−6x−8yi. Theo giả thiết z−68+zi¯ là số thực nên ta suy ra x2+y2−6x−8y=0. Tức là các điểm A,B thuộc đường tròn C tâm I3;4, bán kính R=5.* Xét điểm M thuộc đoạn AB thỏa MA→+3MB→=0→⇔OA→+3OB→=4OM→.Gọi H là trung điểm AB.Ta có HA=HB=AB2=2 và MA=34AB=3⇒HM=MA−HA=1.Từ đó HI2=R2−HB2=21, IM=HI2+HM2=22, suy ra điểm M thuộc đường tròn C' tâm I3;4 , bán kính r=22.* Ta có z1+3z2=OA→+3OB→=4OM→=4OM, do đó z1+3z2 nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất.Ta có OMmin=OM0=OI−r=5−22.Vậy z1+3z2min=4OM0=20−422. Chọn đáp án B

Câu hỏi:

05/07/2024 168

Giả sử $z_{1}, z_{2}$ là hai trong các số phức thỏa mãn $(z - 6) (8 + \bar{z i})$ là số thực. Biết rằng $|z_{1} - z_{2}| = 4$ , giá trị nhỏ nhất của $|z_{1} + 3 z_{2}|$ bằng

A. $20 - 4 \sqrt{21}$

B. $20 - 4 \sqrt{22}$

Đáp án chính xác

C. $5 - \sqrt{22}$

D. $5 - \sqrt{21}$

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Giả sử $z = x + y i$ , $x, y \in ℝ$ .Gọi $A, B$ lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức $z_{1}, z_{2}$ . Suy ra $A B = |z_{1} - z_{2}| = 4$ .
* Ta có $(z - 6) (8 + \bar{z i}) = [(x - 6) + y i] . [(8 - y) - x i] = (8 x + 6 y - 48) - (x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y) i$ . Theo giả thiết $(z - 6) (8 + \bar{z i})$ là số thực nên ta suy ra $x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y = 0$ . Tức là các điểm $A, B$ thuộc đường tròn $(C)$ tâm $I (3; 4)$ , bán kính $R = 5$ .
* Xét điểm M thuộc đoạn AB thỏa $\vec{M A} + 3 \vec{M B} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{O A} + 3 \vec{O B} = 4 \vec{O M}$ .
Gọi H là trung điểm AB.
Ta có $H A = H B = \frac{A B}{2} = 2$ và $M A = \frac{3}{4} A B = 3 \Rightarrow H M = M A - H A = 1$ .
Từ đó $H I^{2} = R^{2} - H B^{2} = 21$ , $I M = \sqrt{H I^{2} + H M^{2}} = \sqrt{22}$ , suy ra điểm M thuộc đường tròn $(C^{'})$ tâm $I (3; 4)$ , bán kính $r = \sqrt{22}$ .
* Ta có $|z_{1} + 3 z_{2}| = |\vec{O A} + 3 \vec{O B}| = |4 \vec{O M}| = 4 O M$ , do đó $|z_{1} + 3 z_{2}|$ nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất.
Ta có $O M_{\min} = O M_{0} = |O I - r| = 5 - \sqrt{22}$ .
Vậy ${|z_{1} + 3 z_{2}|}_{\min} = 4 O M_{0} = 20 - 4 \sqrt{22}$ .

Chọn đáp án B

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết

ĐĂNG KÝ VIP

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Nếu $\int_{1}^{3} f (x) d x = 2$ thì $\int_{1}^{3} 3 f (x) d x$ bằng

Xem đáp án » 16/05/2022 4,130

Câu 2:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) bằng

Xem đáp án » 16/05/2022 1,266

Câu 3:

Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm trên R. Biết $4 f (x) - {[f^{'} (x)]}^{2} = x^{2} + 2 x$ , $\forall x \in ℝ$ . Tính $\int_{0}^{1} f (x) d x$

Xem đáp án » 16/05/2022 861

Câu 4:

Tính tích phân $I = \int_{0}^{2} 2^{2018 x} d x$ .

Xem đáp án » 16/05/2022 186

Câu 5:

Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm $f^{'} (x) = {(x + 1)}^{2} {(x - 2)}^{3} (2 x + 3), \forall x \in ℝ$ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Xem đáp án » 16/05/2022 134

Câu 6:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm thuộc mặt phẳng $(P) : x + 2 y + z - 7 = 0$ và đi qua hai điểm $A (1; 2; 1), B (2; 5; 3)$ . Bán kính nhỏ nhất của mặt cầu (S) bằng

Xem đáp án » 16/05/2022 129

Câu 7:

Cho 4 điểm $A (- 2; - 1; 3), B (2; 3; 1), C (1; 2; 3), D (- 4; 1; 3)$ . Hỏi có bao nhiêu điểm trong bốn điểm đã cho thuộc mặt phẳng $(α) : x + y + 3 z - 6 = 0$ ?

Xem đáp án » 16/05/2022 122

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = - 2 + t \\ y = 1 + 2 t \\ z = 5 - 3 t \end{cases} (t \in ℝ)$ có véc tơ chỉ phương là

Xem đáp án » 16/05/2022 120

Câu 9:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hỏi hàm số đó có bao nhiêu điểm cực trị?

Xem đáp án » 16/05/2022 117

Câu 10:

Trong mặt phẳng cho tập hợp P gồm 10 điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Số tam giác có 3 đỉnh đều thuộc tập hợp P là

Xem đáp án » 16/05/2022 111

Câu 11:

Điểm nào trong hình vẽ bên dưới là điểm biểu diễn số phức $z = 1 + 3 i ?$

Xem đáp án » 16/05/2022 111

Câu 12:

Cho hàm số $y = \frac{1}{2} x^{2}$ có đồ thị (P). Xét các điểm $A, B$ thuộc (P) sao cho tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng AB bằng $\frac{9}{4}$ . Gọi $x_{1}^{}, x_{2}^{}$ lần lượt là hoành độ của A và B. Giá trị của ${(x_{1}^{} + x_{2}^{})}^{2}$ bằng :

Xem đáp án » 16/05/2022 110

Câu 13:

Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD với $A, B, C$ lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức $1 - 2 i, 3 - i, 1 + 2 i$ Điểm D là điểm biểu diễn của số phức z nào sau đây?

Xem đáp án » 16/05/2022 109

Câu 14:

Tính thể tích của khối tứ diện ABCD, biết $A B, A C, A D$ đôi một vuông góc và lần lượt có độ dài bằng $2, 3, 4$ .

Xem đáp án » 16/05/2022 107

Câu 15:

Thể tích của khối trụ có chu vi đáy bằng $4 π a$ và độ dài đường cao bằng a là

Xem đáp án » 16/05/2022 105

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài

Đề thi liên quan

Xem thêm »

Bộ đề thi Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (30 đề)

31 đề 93296 lượt thi Thi thử
30 đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải

31 đề 53263 lượt thi Thi thử
[Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (30 đề)

31 đề 47845 lượt thi Thi thử
Đề thi THPT Quốc gia môn Toán học năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề)

30 đề 37092 lượt thi Thi thử
Thi Online Bộ đề thi Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (30 đề)

31 đề 33558 lượt thi Thi thử
Bộ 30 đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có đáp án

21 đề 20028 lượt thi Thi thử
Đề thi thử tốt nghiệp môn Toán THPT năm 2022 có đáp án

30 đề 16202 lượt thi Thi thử
30 Đề thi thử thpt quốc gia môn Toán hay nhất có lời giải chi tiết

31 đề 12149 lượt thi Thi thử
Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề)

31 đề 11351 lượt thi Thi thử
Đề thi thử THPTGQ môn Toán cực cực hay có lời giải chi tiết

31 đề 11310 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM