Bên cạnh con đường trước khi vào thành phố người ta xây một ngọn tháp đèn lộng lẫy. Ngọn tháp hình tứ giác đều S.ABCD cạnh bên $SA=600$ mét, $ASB=15°$. Do sự cố đường dây điện tại điểm Q (là trung điểm của SA) bị hỏng, người ta tạo ra một con đường từ A đến Q gồm bốn đoạn thẳng: AM, MN, NP, PQ (hình vẽ). Để tiết kiệm kinh phí, kỹ sư đã nghiên cứu và nó được chiều dài con đường từ A đến Q ngắn nhất.

Tính tỷ số $k=\frac{AM+MN}{NP+PQ}$

Cho a, b, c là ba số thực dương, khác 1 và $abc\ne 1$. Biết ${\log }_{a}3=2,{\log }_{b}3=\frac{1}{4}$và ${\log }_{abc}3=\frac{2}{15}.$ Khi đó, giá trị của ${\log }_{c}3$ bằng bao nhiêu? 

Tính đạo hàm của hàm số sau: $f\left(x\right)=\ln \left(x^2+1\right)$

Cho hàm số $y=x^3-3m{x}^2+6,$ giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $\left[0;3\right]$ bằng 2 

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định, liên tục và có đạo hàm trên đoạn $\left[a,b\right].$ Xét các khẳng định sau:

1. Hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến trên $\left(a;b\right)$ thì $f\text{'}\left(x\right)>0,\forall x\in \left(a;b\right)$

2. Giả sử $f\left(a\right)>f\left(c\right)>f\left(b\right),\forall x\in \left(a;b\right)$ suy ra hàm số nghịch biến trên $\left(a;b\right)$

3. Giả sử phương trình $f\text{'}\left(x\right)=0$ có nghiệm là $x=m$ khi đó nếu hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên $\left(m;b\right)$ thì hàm số $y=f\left(x\right)$ nghịch biến trên $\left(a,m\right)$

4. Nếu $f\text{'}\left(x\right)\ge 0,\forall x\in \left(a;b\right)$, thì hàm số đồng biến trên $\left(a;b\right)$

Số khẳng định đúng trong các khẳng định trên là

Cho khối chóp S.ABC có thể tích là $\frac{a^3}{3}$. Tam giác SAB có diện tích là $2a^2$. Tính khoảng cách d từ C đến mặt phẳng (SAB). 

Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên khoảng $\left(0;\sqrt{2}\right)$

Cho $\overrightarrow{v}\left(3;3\right)$ và đường tròn $\left(C\right):x^2+y^2-2x+4y-4=0.$. Ảnh của (C) qua T là $\left(C\text{'}\right):$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F=\frac{a^4}{b^4}+\frac{b^4}{a^4}-\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}\right)+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$ với $a,b\ne 0$

Một người gửi số tiền 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 7,4%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngan hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền sẽ được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép). Để lãnh được số tiền ít nhất 250 triệu thì người đó cần gửi trong khoảng thời gian bao nhiêu năm? (nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi)

Cho hàm số $y=\frac{3x}{1+2x}$ . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

Phương trình $m\sin x+3\cos x=5$ có nghiệm khi và chỉ khi

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=x\left(2-\ln x\right)$ trên đoạn $\left[2;3\right]$là

Cho phương trình:

$(m -1){\log }_{\frac{1}{2}}^2{\left(x-2\right)}^2+4\left(m-5\right){\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{x-2}+4m-4=0$ (với m là tham số). Gọi $S= [a;b]$ là tập các giá trị của m để phương trình có nghiệm trên đoạn $\left[\frac{5}{2};4\right]$. Tính a+b.

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $y=2{\sin }^{2}x-\cos x+1.$Giá trị M+n bằng:

Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

$\sqrt{3+x}+\sqrt{6-x}-\sqrt{\left(3+x\right)\left(6-x\right)}=m$