Thứ sáu, 22/11/2024
IMG-LOGO

Tổng hợp 20 đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay có đáp án - đề 13

  • 4069 lượt thi

  • 50 câu hỏi

  • 90 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=2a, BC=a. Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. K là điểm trên cạnh AD sao cho KD=2KA. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SK.

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

- Tìm một mặt phẳng chứa SK mà song song với MN, đó chính là mặt phẳng (SAD)

- Từ đó ta chỉ cần tính khoảng cách từ MN đến (SAD).

Cách giải: Gọi I là trung điểm AD, AC cắt BD tại O. H là hình chiếu vuông góc của O trên SI.

Chú ý khi giải: HS thường không chú ý đến phương pháp tìm mặt phẳng song song mà chỉ tập trung đi tìm đường vuông góc chung dẫn đến sự phức tạp cho bài toán và không đi đến được đáp án.


Câu 2:

Phương trình msinx+3cosx=5 có nghiệm khi và chỉ khi

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp: Dạng bài này, ngoài cách rút m rồi xét hàm như thường lệ, ta có thể áp dụng điều kiện có nghiệm cho phương trình asinx+bcosx=c là a2a2+b2

Cách giải: Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi 52m2+32m216m4.

Chú ý khi giải: HS thường nhầm lẫn điều kiện có nghiệm của phương trình trên a2+b2c là dẫn đến kết quả sai.


Câu 3:

Một người gửi số tiền 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 7,4%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngan hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền sẽ được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép). Để lãnh được số tiền ít nhất 250 triệu thì người đó cần gửi trong khoảng thời gian bao nhiêu năm? (nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi)

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Công thức lãi kép: T=M1+rn với:

T là số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn;M là số tiền gửi ban đầu; n là số kỳ hạn; r là lãi suất định kỳ, tính theo %.

Cách giải: Gọi n là số năm cần gửi ít nhất để người đó có 250 triệu.

Ta có: 250.106=100.1061+7,4n

n=log1+7,4%250.106100.10612,8n=13 (năm).

Chú ý khi giải: HS sẽ phân vân khi chọn số năm cần gửi ít nhất vì n~12,8nên có thể sẽ chọn đáp án sai là n=12.


Câu 4:

Tính đạo hàm của hàm số sau: fx=lnx2+1

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Công thức tính đạo hàm hàm hợp: f;ux=u'x.f'u .

Công thức tính đạo hàm: lnu'=u'u

Cách giải:

Có: fx=lnx2+1f'x=x2+1'x2+1=2xx2+1

Chú ý khi giải: HS thường nhầm lẫn: sử dụng công thức tính đạo hàm lnx'=1x mà không chú ý đến công thức tính đạo hàm hàm hợp.


Câu 5:

Cho phương trình:

(m 1)log122x22+4m5log121x2+4m4=0 (với m là tham số). Gọi S= [a;b] là tập các giá trị của m để phương trình có nghiệm trên đoạn 52;4. Tính a+b.

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

- Biến đổi phương trình về phương trình bậc hai đối với log2x2 và đặt ẩn phụ t=log2x2 với t1;1

- Rút m theo t và xét hàm f(t) để tìm ra điều kiện của m.

Cách giải: 

m1log122x22+4m5log121x2+4m4=0x>2

m1log22x2+m5log2x2+m+1=0

Đặt y=log2x2x52;4t1;1

Phương trình đã cho trở thành:

m1t2+m5t+m+1=0

mt2+t+1=t2+5t+1m=t2+5t+1t2+t+1=1+4tt2+t+1

vì t2+t+1>0t1;1

Xét hàm số:y=1+4tt2+t+1 trên 1;1

Có: y't=4t2+4t2+t+12

y'x=04t2+4t2+t+12=0t=±11;1

Ta có bảng biến thiên:

m3;73a+b=23.

Chú ý khi giải: HS thường nhầm lẫn các công thức biến đổi logarit dẫn đến kết quả sai, hoặc nhầm lẫn trong bước xét hàm f(t) để đi đến kết luận.


Câu 6:

Cho hàm số Cm:y= x3+ mx2 9x 9m.Tìm m Cmđể tiếp xúc với Ox:

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp: Điều kiện để đồ thị hàm số bậc ba tiếp xúc với trục là phương trình hoành độ giao điểm phải có hai nghiệm phân biệt Ox

Cách giải: Để đồ thị hàm số Cm tiếp xúc với trục Ox thì phương trình hoành độ giao điểm phải có hai nghiệm phân biệt.

Ta có: y=0x3+mx29x9m=01

x+mx29=0x=mx=±3

Để (1) có 2 nghiệm phân biệt m=±3

Chú ý khi gii:HS cần xem lại các điều kiện để phương trình bậc ba có 1 nghiệm, hai nghiệm và ba nghiệm phân biệt.


Câu 7:

Một cái bồn chứa nước gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ (như hình vẽ). Đường sinh của hình trụ (như hình vẽ).

Đường sinh của hình trụ bằng hai lần đường kính của hình cầu. Biết thể tích của bồn chứa nước là 128π3m3.Tính diện tích xung quanh của cái bồn chứa nước theo đơn vị

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ: Sxq=2πRh 

Công thức tính thể tích khối trụ: V=πR2h

Công thức tính diện tích hình cầu:S=4πR2

Công thức tính thể tích khối cầu: V=43πR3

Cách giải: Gọi bán kính đáy của hình trụ là Rh=4R.

V=2V1+V2 với V1 là thể tích nửa khối cầu và V2 là thể tích khối trụ.

=2.23πR3+πR2.4R=16πR33=128π3R=2

Vậy S=2S1+S2=2.42πR2+2πR.4R=48π.

Chú ý khi giải: HS thường hay nhầm lẫn các công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích,… dẫn đến chọn sai đáp án.


Câu 8:

Cho hàm số y = f(x) xác định và có đạo hàm y=f'(x). Đồ thị của hàm số y = f'(x) như hình dưới đây.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp: Quan sát đồ thị hàm số y=f'x để tìm khoảng dương, âm của f'x, từ đó tìm được khoảng đồng biến, nghịch biến của fx.

Cách giải:

Từ đồ thị hàm số y=f'x suy ra hàm số y=fx nghịch biến trên 1 1;2 (làm y'âm) và đồng biến trên 1;1 (làm y'dương).

Suy ra B, C, D sai và A đúng.

Chú ý khi giải:

HS có thể nhầm lẫn thành đồ thị hàm số y=fx do đọc không kĩ đề dẫn đến chọn sai đáp án.


Câu 9:

Cho hình chóp SABC có SB=SC=BC=CA=a.. Hai mặt (ABC) và (ASC) cùng vuông góc với (SBC). Tính thể tích hình chóp.

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp: Công thức tính thể tích khối chóp V=13S.h với S là diện tích đáy,h là chiều cao.

Chú ý tính chất hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng đó.

Cách giải: Ta có: ABCSBCSBCSBCABCSAC=ACACSBC

V=13SSBC.AC=13aa234=a3312


Câu 10:

Cho lăng trụ đứng cóABC.A'B'C' có AB=AC=BB'=a,BAC=120°. Gọi I là trung điểm của CC'. Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I).

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp: Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng:

- Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.

- Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến.

Cách giải: Gọi E là giao điểm của B’I và BC.

Hai mặt phẳng (AIB') và (ACB) có giao tuyến là EA

AKAIB';AHACB;EAAK;EAAHhợp bởi hai mặt phẳng (AIB') và (ACB) là KAH

Ta có: BC=2acos30°=a3

AE2=EC2+AC22AC.EC.cosACE=3a2+a22a.a3.cos150°=7a2AE=a7

Ta có:

 cosAEC=AE2+EC2AC22AC.EC=7a2+3a2a22a7.a3=9221

tanAEC=1cos2AEC1=39.AH=AE.tanAEC=a219

Ta có: EHEB=HKBB'

HK=EH.BB'EB=AE.BB'2BC.cosAEC=a7.a.2212a3.9=7a9

cosKAH=AHAK=AHAH2+HK2=a21921a281+49a281=3010


Câu 11:

Đồ thị hàm số y=x2x+22x21 có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? 

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp: Số tiệm cận đứng của hàm phân thức y=fxgx là số nghiệm của mẫu mà không là nghiệm của tử.

Cách giải: Ta thấy mẫu thức x21có 2 nghiệm x=±1và x = 1cũng là nghiệm của tử, x=1 không là nghiệm của tử thức nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng .

Chú ý khi giải: HS thường mắc phải sai lầm: nhận thấy mẫu có hai nghiệm phân biệt vội vàng kết luận có 2 tiệm cận dẫn đến kết quả sai.


Câu 12:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F=a4b4+b4a4a2b2+b2a2+ab+ba với a,b0

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp: Thêm bớt hạng tử để được các hằng đẳng thức.

Sử dụng kết quả A2+B2+CC để tìm min F và chú ý tìm điều kiện để dấu “=” xảy ra. 2

Cách giải: F=a4b4+b4a4a2b2+b2a2+ab+ba

=a2b212+b2a212+ab+ba2+ab+ba4a2+b2ab424=2

Dấu “=” xảy ra a;b=1;1 hoặc a;b=1;1

Vậy Miny=2 tại a;b=1;1 hoặc a;b=1;1


Câu 13:

Cho tập A có 20 phần tử. Hỏi tập A có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng mà có số phần tử chẵn

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp: Sử dụng công thức tổ hợp chập của phần tử trong khi chọn các tập hợp con có 2, 4, 6,..., 20 phần tử.

Cách giải:

*TH1: A có 2 phần tử =>có C202 tập hợp con có 2 phần tử.

*TH2: A có 4 phần tử =>có C204tập hợp con có 4 phần tử.

….

*TH10: A có 20 phần tử =>có C2020 tập hợp con có 20 phần tử.

Suy ra tất cả có i=110C202i=2191 trường hợp.


Câu 14:

Cho hàm số y=x33x2+5x2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc nhỏ nhất. 

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp: Hệ số góc của tiếp tuyến là giá trị của đạo hàm tại tiếp điểm nên để có hệ số góc nhỏ nhất thì ta cần tìm GTNN của đạo hàm.

Cách giải: Xét hàm số: y=x33x2+5x2 trên R

Có y'=3x26x+5=3x12+22.

Dấu “=” xảy ra

Với x=1y=1

Vậy đường thẳng cần tìm là:

y1=2x1y=2x1


Câu 15:

Cho một hình trụ (T) có chiều cao và bán kính đều bằng 3a. Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB, CD lần lượt là hai dây cung của hai đường tròn đáy, cạnh AD, BC không phải là đường sinh của hình trụ (T). Tính cạnh của hình vuông này.

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp: Gọi là tâm hình vuông IOO'.

Sử dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông để tính AB.

Cách giải:

Ta có: IB=OI2+OB2=9a24+9a2=3a52

AB=BI.2=3a102


Câu 16:

Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng đi qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a, diện tích xung quanh của hình nón là:

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp: Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón: Sxq=πRl

Cách giải:

Có: l=2R2=a22

Sxq=πRl=π.a2.a22=πa224

Chú ý khi giải: HS thường nhầm lẫn công thức tính diện tích xung quanh hình nón là Sxq=πRh với h là đường cao của hình nón.


Câu 17:

Cho hàm số C:y=x3+3x2+1.Đường thẳng đi qua điểm A3;1và có hệ số góc bằng k. Xác định k để đường thẳng đó cắt đồ thị tại 3 điểm khác nhau 

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Viết phương trình đường thẳng đi qua A và có hệ số góc k .

Biện luận số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm để suy ra kết luận.

Cách giải:

Xét hàm số: y=x3+3x2+1C trên R

Ta có: y'=3x2+6x;y'=03x2+6x=0x=0x=2

Ta có (C) là hàm số bậc 3 xác định trên R, đồ thị của nó có duy nhất 2 cực trị hoặc không có điểm cực trị nào.

Ta có: a=1>0B0;1 là điểm cực tiểu của (C).

Ta có: AB=3;0AB//Ox

=> để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì điều kiện cần là k>0 với k là hệ số góc đường thẳng cắt (C) tại 3 điểm phân biệt

Gọi d:y=kx+a với: k>0;k,aR

Ta lại có 

A3;1d1=3k+aa=1+3k

d:y=kx+3k+1

d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt

<=> phương trình: kx+3k+1=x3+3x2+11có 3 nghiệm phân biệt.

Phương trình 1x+3x2k=0x=3x=±kvì k>0

Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

Vậy k>0;k9 thỏa mãn yêu cầu của bài.

Chú ý khi giải:

HS cần chú ý cách viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có hệ số góc.

Liên hệ được mối liên hệ giữa số giao điểm và số nghiệm của phương trình để biện luận.


Câu 18:

Cho hàm số y=3x1+2x . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Đường thẳng y=y0 là tiệm cận ngang của đths y=fx nếu limxy=y0 hoặc limx+y=y0

Đường thẳng x=x0 là tiệm cận đứng của đths y=fx nếu limxx0+y=± hoặc limxx0y=± .

Cách giải:

limxy=limxy3x1+2x=32

Vậy tiệm cận ngang đồ thị hàm số y=3x1+2x là đường thẳng y=32

Chú ý khi giải: HS thường nhầm lẫn giữa các điều kiện để một đường thẳng là tiệm cận của đồ thị hàm số dẫn đến chọn nhầm đáp án.


Câu 19:

Cho 9x+9x=23. Khi đó biểu thức A=5+3x+3x13x3x=ab với ab tối giản và a,b. Tích a.b có giá trị bằng:

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp: Biến đổi phương trình đã cho để tính 3x+3x, từ đó thay vào biểu thức A

Cách giải:

Ta có: 9x+9x=23

3x+3x2=253x+3x=5 vì 3x+3x>0,xR

A=5+3x+3x13x3x=5+515=52=ab

Vậy ab=10

Chú ý khi giải:

HS thường phân vân ở chỗ tính 3x+3x vì đến đó các em không biết nhận xét 3x+3x>0,x dẫn đến một số em có thể chọn nhầm đáp án.


Câu 20:

Cho a, b, c là ba số thực dương, khác 1 và abc1. Biết loga3=2,logb3=14logabc3=215. Khi đó, giá trị của logc3 bằng bao nhiêu? 

Xem đáp án

Đáp án A

Sử dụng các công thức biến đổi logarit như: logab=1logba;logabc=logab+logac

Cách giải:

Ta có: logabc3=215

log3abc=152

log3a+log3b+log3c=152

1loga3+1logb3+log3c=152

log3c=1521loga31logb3=152124=3

log3c=13.

Chú ý khi giải: HS thường nhầm lẫn công thức logarit của một tích, hoặc đến bước cuối tính logc3 lại kết luận nhầm log3c=3 dẫn đến chọn nhầm đáp án.


Câu 21:

Đường cong trong hình dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Quan sát đồ thị hàm số đã cho và nhận xét dựa trên dáng đồ thị các hàm số đa thức bậc 3, bậc 4.

Cách giải:

Đồ thị hàm số nhận (0;0) là điểm cực tiểu nên loại A, B, D.


Câu 22:

Giá trị lớn nhất của hàm số y=x2lnx trên đoạn 2;3

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

- Tính đạo hàm và tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng . 0

- Tính các giá trị của hàm số tại hai đầu mút và tại các nghiệm của đạo hàm.

- Giá trị lớn nhất trong số những giá trị vừa tìm được là GTLN của hàm số trên đoạn a;b

Cách giải:

Xét hàm số: y=x2lnx trên 2;3

Có y'x=2lnx1=1lnx

y'x=01lnx=0lnx=1x=e2;3

Ta có bảng biến thiên:

Vậy max2;3y=ye=e

Chú ý khi giải:

HS thường tính sai bước đạo hàm và nhầm lẫn khi xét dấu đọa hàm dẫn đến sai kết quả.


Câu 23:

Cho n là số nguyên dương, tìm n sao cho:

12loga2019+22loga2019+...+n2logan2019=10102×20192loga2019

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Biến đổi VT để xuất hiện loga2019

Sử dụng công thức 13+23+33+...+n3=n2n+124

Cách giải:

Ta có: 

VT=12.loga2019+22loga2019+...n2.logan2019

Vậy. =13.loga2019+23loga2019+...+n3.loga2019

=13+23+...+n3.loga2019

VT=10102.20192.loga2019

Có VT=VP

13+23+...+n3loga2019=10102.20192.loga2019

n2n+124=10102.20192

n2+n2=2020.20192

n2+n=2020.2019 vì n2+n>0,n>0

n=20190;+n=20200;+

Vậy n=2019

Chú ý khi gii:

HS thường không biết áp dụng công thức 13+23+33+...+n3=n2n+124 dẫn đến không tìm ra kết quả bài toán.


Câu 24:

Cho hàm số y=ax3+bx2+cx+d có đồ thị như hình bên.

Khẳng định nào sau đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Cách giải:

Ta có hàm số: y=ax2+bx2+cx+d

Từ chiều biến thiên của đồ thị ta có a > 0.

Có: y0=d>0

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị

=> phương trình: y=3ax2+2bx+c=0 có hai nghiệm phân biệt x1 x2. Chọn x1<x2

Mà x1<0<x2ac<0c<0

Từ đồ thị ta có: x10<x20a+b<0b<a<0

Vậy: a,d>0;b,c<0


Câu 25:

Tìm tổng các nghiệm của phương trình sau:

log54x22x3=2log2x22x4

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Biến đổi phương trình đã cho về 2log5x22x3=log2x22x4 và đặt ẩn phụ t=log5x22x3 đưa về phương trình ẩn t.

Xét hàm ft và tìm nghiệm của ft=0 từ đó tìm ra nghiệm của phương trình.

Cách giải:

Phương trình (1): log5x22x3=2log2x22x4

Điều kiện: x22x3>0x22x4>0x22x4>0

Vì x22x<x22x3,xR

12log5x22x3=log2x22x4*

Đặt t=log5x22x3

x22x3=5tx22x4=5t1>0t>0

Phương trình (*) trở thành:

2t=log25t15t4t1=0

Xét hàm số yt=5t4t1 trên 0;+

Có y't=5tln54tln4

5t>4t,t0;+;ln5>ln4 nên yt=5tln4tln>0,t0;+

ft đồng biến trên 0;+

Bảng biến thiên:

ft=0t=1 là nghiệm duy nhất phương trình ft=0

Với t=1log5x22x3=1

x22x3=5x22x8=0

Theo định lý vi – et ta có tổng hai nghiệm phương trình (1) là: x1+x2=2.

Chú ý khi giải:

HS cần chú ý sử dụng phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình.


Câu 26:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc đáy ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60°, M là trung điểm của BC. Tính thể tích hình chóp S.ABMD 

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là SDA bằng cách sử dụng định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến.

Công thức tính thể tích khối chóp: V=13S.h

Cách giải:

Ta có: SAABCDSACD

ADCDCDSADCDSD.

SCDABCD=CDADCDSDCDnên góc giữa (SCD) và (ABCD) là SDA=60°

Ta có: h=a.tan60°=a3

SABMD=SABCDSΔDCM=a212a.a2=3a24

VS.ABMD=13SABMD.h=13.3a24.a3=a334

Chú ý khi giải:

HS thường xác định sai góc giữa hai mặt phẳng dẫn đến đáp số sai.


Câu 27:

Tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số y=13x3m1x2+2m1x2 luôn tăng trên R

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Tính y' và tìm điều kiện của để y'>0,xR

Điều kiện để tam thức bậc hai ax2+bx+c>0,xR là a>0Δ0

Cách giải:

Xét hàm số: y=13x3m1x2+2m1x2

Có y'x=x22m2x+2m1

Hàm số đã cho tăng trên Ry'x>0,xR

Δ'=m122m10 vì a=1>0

m24m+30

103

Chú ý khi giải:

HS thường nhầm lẫn điều kiện để tam thức bậc hai luôn âm, luôn dương dẫn đến chọn nhầm đáp án.


Câu 28:

Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên khoảng 0;2

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Xét các hàm số ở từng đáp án, tìm khoảng nghịch biến của chúng và đối chiếu điều kiện đề bài.

Cách giải:

*TH1: Đáp án A:

Hàm số: y=x2+x1x1  xác định trên D=R\1 nên loại A vì 10;2

*TH2: Đáp án B:

Xét hàm số: y=2x5x+1 xác định trên R\1

Có y'=7x+12,xR\1

=> Hàm số y=2x5x+1  đồng biến trên R\1(loại).

*TH3: Đáp án C:

Hàm số y=12x42x2+3  liên tục trên 0;2

Có y'x=2x36x<0,x0;2

Hàm số: y=12x42x2+3 nghịch biến trên 0;2

*TH4: Đáp án D:

Hàm số: y=32x34x2+9x+9 xác định trên R

y'x=92x28x+6=92x892+229>0,xR (loại).

Vậy đáp án C thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chú ý khi giải:

HS cần chú ý điều kiện để hàm số nghịch biến trên khoảng a;bf'x<0,xa;b.


Câu 29:

Phương trình: x13+mm+1=2x214 có nghiệm x khi:

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

- Chia cả hai vế của phương trình cho x+1>0 và đặt ẩn phụ t=x14x+14 .

- Từ điều kiện x1 ta tìm được điều kiện của t là 0t<1.

- Từ phương trình ẩn t, rút m=ft và xét hàm ft trên 0;1 , từ đó suy ra điều kiện của

Cách giải:

Phương trình: 3x1+mx+1=2x214 (Điều kiện: x1)

3x1+mx+1=2x14.x+14*

Ta có với x1 Chia hai vế phương trình (*) cho  ta có: 3x1x+1+m=2x14x+141

Đặt t=x14x+14t4=x1x+1

Với x1 thì hàm số 0x1x+1=12x+1<10t4<10t<1

Phương trình (1) trở thành: 3t22t+m=02

Phương trình (*) có nghiệm  phương trình (2) có nghiệm: 0t<1

Xét hàm y=ft=3t22t trên 0;1 ta có:

f't=6t2=0t=130;1

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy để phương trình 3t22t+m=0 có nghiệm trong 0;1 thì đường thẳng y=mphải cắt đồ thị hàm số y=ft=3t22t tại ít nhất 1 điểm.

Do đó 13m<11<m13

Vậy 1<m13 thì phương trình đã cho có nghiệm.

Đáp án B.

Chú ý khi giải:

- HS thường quên không tìm điều kiện của ẩn phụ hoặc tìm sai điều kiện (một số bạn chỉ đặt điều kiện sẽ dẫn đến kết quả sai) t t 0 

- Ở bước kết luận, một số bạn nhầm lẫn điều kiện để có nghiệm và có 2 nghiệm nên sẽ chọn để phương trình có 2 nghiệm cũng là một kết quả sai. 1 0 m 3  


Câu 30:

Cho hàm số y=fx xác định, liên tục và có đạo hàm trên đoạn a,b. Xét các khẳng định sau:

1. Hàm số fx đồng biến trên a;b thì f'x>0,xa;b

2. Giả sử fa>fc>fb,xa;b suy ra hàm số nghịch biến trên a;b

3. Giả sử phương trình f'x=0 có nghiệm là x=m khi đó nếu hàm số y=fx đồng biến trên m;b thì hàm số y=fx nghịch biến trên a,m

4. Nếu f'x0,xa;b, thì hàm số đồng biến trên a;b

Số khẳng định đúng trong các khẳng định trên là

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Xét tính đúng sai của các đáp án dựa vào các kiến thức hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng xác định.

Cách giải:

*2 sai vì với c1<c2 bất kỳ nằm trong a;b ta chưa thể so sánh được fc1 và fc2

*3 sai. Vì y' bằng 0 tại điểm đó thì chưa chắc đã đổi dấu qua điểm đó. VD hàm số y=x3

*4 sai: Vì thiếu điều kiện tại f'x=0 hữu hạn điểm.VD hàm số y=1999y'=00 nhưng là hàm hằng.

Chú ý khi giải:

HS thường nhầm lẫn:

- Khẳng định số 4 vì không chú ý đến điều kiện bằng 0 tại hữu hạn điểm.

- Khẳng định số 3 vì không chú ý đến điều kiện đổi dấu qua nghiệm.


Câu 31:

Người ta chế tạo ra một món đồ chơi cho trẻ em theo các công đoạn như sau: Trước tiên cho trẻ em theo các công đoạn như sau: Trước tiên, chế tạo ra một mặt nón tròn xoay có góc ở đỉnh là 2β=60° bằng thủy tinh có bán kính lớn, nhỏ khác nhau sao cho 2 mặt cầu tiếp xúc với nhau và đều tiếp xúc với mặt nón. Quả cầu lớn tiếp xúc với cả mặt đáy của mặt nó. Cho biết chiều cao của mặt nón bằng 9cm. Bỏ qua bề dày của những lớp vỏ thủy tinh, hãy tính tổng thể tích của hai khối cầu.

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Tính bán kính hai khối cầu dựa vào các mối quan hệ đường tròn nội tiếp tam giác.

Tính thể tích hai khối cầu đã cho theo công thức V=43π.R3 và suy ra kết luận.

Cách giải: Cắt món đồ chơi đó bằng mặt phẳng đứng đi qua trục hình nón.

Gọi P, H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, I, J trên AB.

Vì BAC=2β=60°,AM=9cm.

BM=MC=33AB=AC=63=BCΔABC đều.

Vì IM là bán kính mặt cầu nội tiếp tam giác đều ABC nên IH=IM=AM3=3

Gọi là tiếp tuyến chung của hai đường tròn. Vì ΔABC đều nên dẫn đến ΔAB'C'  đều.

Suy ra bán kính đường tròn nội tiếp:

JK=JG=AG3=AM9=1

Vậy tổng thể tích là:

V1+V2=43π.IH3+43π.JK3=112π3

Chú ý khi giải:

Cần chú ý vận dụng các mối quan hệ đường tròn nội, ngoại tiếp tam giác đều trong việc tính bán kính các khối cầu.


Câu 32:

Cho khối chóp S.ABC có thể tích là a33. Tam giác SAB có diện tích là 2a2. Tính khoảng cách d từ C đến mặt phẳng (SAB). 

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Dựa vào công thức tính thể tích khối chóp

V=13S.h để suy ra chiều cao hạ từ C đến mp (SAB).

Cách giải:

Gọi khoảng cách từ C đến (SAB) là h.

Theo công thức thể tích khối chóp, ta có:

V=13h.SSAB=13.h.2a2=a33h=a2

Chú ý khi giải:

HS cần áp dụng đúng công thức tính thể tích.


Câu 33:

Cho nửa đường tròn đường kính AB=2R và một điểm C thay đổi trên nửa đường tròn đó, đặt CAB=αvà gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB. Tìm α sao cho thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi xoay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn nhất:

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

- Tính thể tích khối nón có được khi quay tam giác ACH quanh AB (hay AH) bằng công thức V=13Sd.h  với đáy là hình tròn tâm H bán kính CH và chiều cao là AH.

- Tìm GTLN của thể tích dựa vào phương pháp xét hàm, từ đó tìm được AH.

Cách giải: Thể tích khối nón khi quay ΔACH quay quanh AB:

V=13AH.π.CH2=13AH.π.AH.ABAH2=2Rπ3.AH2π3AH3

Chú ý khi giải:

Ở bước kết luận nhiều HS sẽ kết luận sai góc α là góc 45° dẫn đến chọn sai đáp án. 


Câu 34:

Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

3+x+6x3+x6x=m

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Phương trình đã cho có nghiệm <=> đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số y=fx=3+x+6x3+x6x tại ít nhất 1 điểm nên ta xét hàm f(x), từ đó tìm ra điều kiện của m.

Cách giải:

Xét hàm số: fx=3+x+6x3+x6x trên 3;6

f'x=06x3+x+2x3=032x6x3+x32x=0x=323;66x3+x=1*

*9+26x3+x=126x3+x=8 (loại)

Ta có bảng biến thiên:

Vậy để phương trình f(x) có nghiệm thì: 9+622m3


Câu 35:

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=a, BC=2a. Tính thể tích khối nón nhận được khi quay tam giác ABC quanh trục BC.

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Công thức tính thể tích khối nón: V=13S.h với S là diện tích hình tròn đáy và h là đường cao.

Cách giải:

Gọi A’ đối xứng với A qua BC. Khi quay tam giác quanh trục BC ta sẽ được hai khối nón có đáy là hình tròn tâm H bán kính R và lần lượt có chiều cao là BH và CH.

Ta có:

AC=BC2AB2=4a2a2=a3

AH=AB.ACBC=a.a32a=a32

V=13πAH2.BH+13πAH2.CH=13.πAH2.BC=13πa322.2a=πa32


Câu 36:

Một cốc nước có dạng hình trụ chiều cao là 15cm, đường kính đáy là 6cm, lượng nước ban đầu trong cốc cao 10cm. Thả vào cốc nước 5 viên bị hình cầu có cùng đường kính là 2cm. Hỏi sau khi thả 5 viên bị, mực nước trong cốc cách miệng cốc bao nhiêu cm? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Tính thể tích mỗi viên bi hình cầu: V=43πR35 viên có thể tích

Tính thể tích lượng nước ban đầu (cột nước hình trụ): V2=Vn=πR2h.

Tính tổng thể tích cả bi và nước lúc sau V=V1+V2 , từ đó suy ra chiều cao cột nước lúc sau và khoảng cách từ mặt nước đến miệng cốc.

Cách giải:

Chú ý khi giải:

Các em có thể sẽ quên không tính thể tích của 5 viên bi, hoặc nhầm lẫn đường kính 6cm thành bán kinh 6cm dẫn đến các thể tích bị sai.


Câu 37:

Cho v3;3 và đường tròn C:x2+y22x+4y4=0.. Ảnh của (C) qua T là C':

Xem đáp án

Đáp án B

- Ảnh của đường tròn qua phép tịnh tiến là một đường tròn có cùng bán kính.

- Xác định tâm đường tròn mới qua phép tịnh tiến rồi viết phương trình đường tròn mới có tâm vủa tìm được và bán kính là bán kính đường tròn đã cho.

- Điểm I'x';y' là ảnh của Ix;y qua phép tịnh tiến theo véc tơ v=a;b nếu x'=x+ay'=y+a

Cách giải:

Ta có: C:x12+y+22=9

Tọa độ tâm I của đường tròn (C) là: I1;2

Suy ra ảnh I’ của I qua  là I4;1 .

C:x42+y12=9

Chú ý khi giải:

HS thường hay nhầm lẫn biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến dẫn đến tìm sai tọa độ điểm I’


Câu 38:

Hãy lập phương trình đường thẳng (d) đi qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số y=x3+3mx23x

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

- Gọi là một điểm cực trị của hàm số y=fx , khi đó y'x0=0y0=x03+3mx023x0

- Từ hệ trên ta tìm được phương trình đường thẳng đi qua x0;y0 .

Cách giải:

Có: yx=x3+3mx23xy'x=3x2+6mx3

Phương trình đường thẳng d đi qua 2 cực trị của (C) nên x0;y0d thỏa mãn:

y'x0=0y0=x03+3mx023x03x026mx3=0y0=x0x02+2mx03x0+mx02

x02+2mx0=1y0=2x0+mx02x02=2mx0+1y0=2x0+m2mx0+1

y0=2m2+1x0+m

Chú ý khi giải:

Các em cũng có thể giải bài toán bằng cách khác:

- Tính y'.

- Thực hiện phép chia y cho y' ta sẽ tìm được đa thức dư là kết quả bài toán.


Câu 40:

Bên cạnh con đường trước khi vào thành phố người ta xây một ngọn tháp đèn lộng lẫy. Ngọn tháp hình tứ giác đều S.ABCD cạnh bên SA=600 mét, ASB=15°. Do sự cố đường dây điện tại điểm Q (là trung điểm của SA) bị hỏng, người ta tạo ra một con đường từ A đến Q gồm bốn đoạn thẳng: AM, MN, NP, PQ (hình vẽ). Để tiết kiệm kinh phí, kỹ sư đã nghiên cứu và nó được chiều dài con đường từ A đến Q ngắn nhất.

Tính tỷ số k=AM+MNNP+PQ

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Trải 4 mặt của hình chóp ra mặt phẳng và tìm điều kiện để AM+MN+NP+PQ  là nhỏ nhất.

Cách giải:

Ta “xếp” 4 mặt của hình chóp lên một mặt phẳng, được như hình bên:

Như hình vẽ ta tháy, để tiết kiệm dây nhất thì các đoạn AM, MN, NP, PQ phải tạo thành một đoạn thẳng AQ.

Lúc này, xét ΔSAQ có:

ASM=MSN=NSP=PSQ=15°

SA=600m,SQ=300m

k=AM+MNNP+PQ=ANNQ=SASQ=2

(Vì ANNQ=SASQ do tính chất của đường phân giác SN).


Câu 41:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm sốy=x32mx2+m2x+2 đạt cực tiểu tại x=1

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Điểm x=x0 là điểm cựa tiểu của hàm số bậc ba y=fx nếu f'x0=0f''x0>0

Cách giải:

TXĐ: D=R

Ta có: y'=3x24mx+m2y''=6x4m

Để x=1 là điểm cực tiểu của hàm số bậc ba với hệ số x3 dương thì:

y'1=0y''1>0m24m+3=064m>0m=1;m=3m<32m=1

Chú ý khi giải:

Nhiều HS sẽ nhầm lẫn điều kiện để điểm x0 là điểm cực tiểu là f''x0>0 dẫn đến chọn đáp án m=3 là sai


Câu 42:

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA=a,AB=a,AC=2a,BAC=60°. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

- Chứng minh ΔABC vuông tại B, tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy.

- Sử dụng công thức R2=h24+r2 với R là bán kính hình cầu ngoại tiếp khối chóp, h là chiều cao, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

Cách giải:

Ta có: cos60°=12=a2acosBAC=ABAC

ΔABC vuông tại B.

Gọi M là trung điểm AC.

M là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC

MA=MA=AC2=a

Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy.

R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

h là chiều cao hình chóp.

Ta có công thức sau:

R2=h24+r2R2=a24+a2=a52

V=43πR3=5a56

Chú ý khi giải:

HS cần linh hoạt trong việc chứng minh ΔABC vuông tại B và biết sử dụng công thức liên hệ giữa R, r, h.


Câu 43:

Cho 3 đồ thị hàm số sau (như hình vẽ).

Khẳng định nào sau đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Chọn điểm cụ thể x=2 rồi suy ra logc2>loga2>logb2 , từ đó chọn được đáp án.

Cách giải:

Theo như đồ thị hàm số, chọn x=2, ta có:

logc2>loga2>logb21logb2<0<1logc2<1loga2log2b<0<log2c<log2ab<c<a


Câu 44:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC=abiết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60°. Tính thể tích hình chóp. 

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Xác định góc 60° bằng phương pháp xá định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

Thể tích khối chóp V=13S.h

Cách giải:

ΔABC vuông cân tại B có AC=aBC=BA=a2

ΔSAB vuông tại A có SBA=60°

SA=AB.tanSBA=a2tan60°=a62

V=13SA.SABC=13SA.12BC.BA

=13.a62.12.a2.a2=a3624


Câu 45:

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y=2sin2xcosx+1.Giá trị M+n bằng:

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Biến đổi hàm số về hàm số bậc hai đối với cosx , đặt cosx=t và tìm GTLN, GTNN của hàm số với chú ý

Cách giải:

Ta có: y=2sin2xcosx+1

=21cos2xcosx+1=2cos2xcosx+3

Đặt t=cosx1t1

yt=2t2t+3y't=4t1

y'0=0t=141;1

M=maxy=y14=258;m=miny=y1=0M+m=258

Chú ý khi giải:

HS thường nhầm lẫn khi tìm GTLN, GTNN của hàm số, hoặc ở bước đặt ẩn phụ quên không đặt điều kiện cho ẩn mới.


Câu 46:

Cho hàm số y=fx có đồ thị như hình bên.

Xác định tất cả các giá trị của tham số m để phương trình fx=2m2m+3 có 6 nghiệm thực phân biệt.

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

- Vẽ đồ thị hàm số y=fx từ đồ thị hàm số y=fx: giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới qua trục hoành.

- Điều kiện để phương trình fx=2m2m+3 có 6 nghiệm phân biệt là đường thẳng y=2m2m+3 cắt đồ thị hàm số y=fx tại 6 điểm phân biệt.

Cách gii:

Ta có đồ thị hàm số y=fx.

Lúc này, để phương trình fx=2m2m+3 có 6 nghiệm phân biệt thì đường thẳng y=2m2m+3 cắt đồ thị hàm số y=fx tại 6 điểm phân biệt.

Chú ý khi giải:

HS thường nhầm lẫn cách vẽ các đồ thị hàm số y=fx y=fx, hoặc ở bước giải bất phương trình kết hợp nghiệm sai dẫn đến chọn sai đáp án.


Câu 47:

Tập xác định của hàm số y=2xx2π là:

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Điều kiện để hàm số lũy thừa với số mũ không nguyên là cơ số phải dương.

Cách giải:

π là số vô tỉ nên điều kiện là cơ số lớn hơn 0.

2xx2>0x<2x0;2

Chú ý khi giải:

HS rất hay nhầm lẫn khi tìm điều kiện xác định của hàm số lũy thừa, đó là cho cơ số có thể bằng 0 dẫn đến chọn nhầm đáp án D.


Câu 48:

Có 10 vị nguyên thủ Quốc gia được xếp ngồi vào một dãy ghế dài (Trong đó có ông Trum và ông Kim). Có bao nhiêu cách xếp sao cho hai vị ngày ngồi cạnh nhau?

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

- Coi hai ông Trum và Kim là một người thì bài toán trở thành xếp 9 người vào dãy ghế.

- Lại có 2 cách đổi chỗ hai ông Trum và Kim nên từ đó suy ra đáp số.

Cách giải:

Kí hiệu 10 vị nguyên thủ là a, b, c, d, e, f, g, h, i, k.

Và hai ông Trum, Kim lần lượt là a, b.

Nếu ông Trum ngồi lên bên trái ông Kim, tương đương xếp ab¯,c,d,e,f,g,h,i,k vào 9 vị trí. Ta có A99 cách.

Vậy tổng hợp lại, có A99+A99=2.9! cách.


Câu 49:

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y=mx33mx2+x1 có cực đại và cực tiểu

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Điều kiện để hàm đa thức bậc ba có cực đại, cực tiểu là phương trình y'=0 có hai nghiệm phân biệt.

Cách giải:

TH1: m=0y=x1 Hàm số không có cực trị.

TH2: TXĐ: D=R

Ta có: y=mx33mx2+x1y'=mx22mx+1

Để hàm số cho có cực đại, cực tiểu thì phương trình y'=0 phải có 2 nghiệm phân biệt Δ'=m2m>0m<0m>1


Câu 50:

Cho hàm số y=x33mx2+6, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên 0;3 bằng 2 

Xem đáp án

Đáp án D

Tính y’ và tìm nghiệm của y'=0 .

- Biện luận các trường hợp điểm x=3 nằm trong, nằm ngoài khoảng 2 nghiệm để suy ra kết luận.

Cách giải:

TXĐ: D=R

y'=3x26mx

Ta có: y'=0x=0y=6x=2my=4m3+6

Xét TH1: m=0 . Hàm số đồng biến trên 0;3Min0;3y=y0=6 loại.

Xét TH2: m322m>3>0. Khi đó, hàm số nghịch biến trên 0;30;2m

Min0;3y=y3=3327m=2m=3127<32(loại)

Xét TH3: 32>m>03>2m>0 thì đồ thị hàm số có điểm cực đại là 0;6 và điểm cực tiểu là 2m,4m3+6.

Khi đó , GTNN trên 0;3 là y2m=4m3+6

4m3+6=2m3=1m=1 (thỏa mãn)

Xét TH4: m<00;6 là điểm cực tiểu và trên 0;3 hàm số đồng biến.

ymin=6loại.

Vậy m=1 là giá trị cần tìm.

Đáp án D.

Chú ý khi gii:

HS cần phải xét tất cả các trường hợp và chú ý loại nghiệm. nhiều em sai lầm kết luận m=3127 mà không chú ý điều kiện của trường hợp đó là m32


Bắt đầu thi ngay