Tổng hợp 20 đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay có đáp án - đề 13
-
4069 lượt thi
-
50 câu hỏi
-
90 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=2a, BC=a. Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. K là điểm trên cạnh AD sao cho KD=2KA. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SK.
Đáp án D
Phương pháp:
- Tìm một mặt phẳng chứa SK mà song song với MN, đó chính là mặt phẳng (SAD)
- Từ đó ta chỉ cần tính khoảng cách từ MN đến (SAD).
Cách giải: Gọi I là trung điểm AD, AC cắt BD tại O. H là hình chiếu vuông góc của O trên SI.
Chú ý khi giải: HS thường không chú ý đến phương pháp tìm mặt phẳng song song mà chỉ tập trung đi tìm đường vuông góc chung dẫn đến sự phức tạp cho bài toán và không đi đến được đáp án.
Câu 2:
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
Đáp án B
Phương pháp: Dạng bài này, ngoài cách rút m rồi xét hàm như thường lệ, ta có thể áp dụng điều kiện có nghiệm cho phương trình là
Cách giải: Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
Chú ý khi giải: HS thường nhầm lẫn điều kiện có nghiệm của phương trình trên là dẫn đến kết quả sai.
Câu 3:
Một người gửi số tiền 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 7,4%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngan hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền sẽ được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép). Để lãnh được số tiền ít nhất 250 triệu thì người đó cần gửi trong khoảng thời gian bao nhiêu năm? (nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi)
Đáp án A
Phương pháp:
Công thức lãi kép: với:
T là số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn;M là số tiền gửi ban đầu; n là số kỳ hạn; r là lãi suất định kỳ, tính theo %.
Cách giải: Gọi n là số năm cần gửi ít nhất để người đó có 250 triệu.
Ta có:
(năm).
Chú ý khi giải: HS sẽ phân vân khi chọn số năm cần gửi ít nhất vì nên có thể sẽ chọn đáp án sai là n=12.
Câu 4:
Tính đạo hàm của hàm số sau:
Đáp án D
Phương pháp:
Công thức tính đạo hàm hàm hợp: .
Công thức tính đạo hàm:
Cách giải:
Có:
Chú ý khi giải: HS thường nhầm lẫn: sử dụng công thức tính đạo hàm mà không chú ý đến công thức tính đạo hàm hàm hợp.
Câu 5:
Cho phương trình:
(với m là tham số). Gọi là tập các giá trị của m để phương trình có nghiệm trên đoạn . Tính a+b.
Đáp án B
Phương pháp:
- Biến đổi phương trình về phương trình bậc hai đối với và đặt ẩn phụ với
- Rút m theo t và xét hàm f(t) để tìm ra điều kiện của m.
Cách giải:
Đặt
Phương trình đã cho trở thành:
vì
Xét hàm số: trên
Có:
Ta có bảng biến thiên:
Chú ý khi giải: HS thường nhầm lẫn các công thức biến đổi logarit dẫn đến kết quả sai, hoặc nhầm lẫn trong bước xét hàm f(t) để đi đến kết luận.
Câu 6:
Cho hàm số Tìm m để tiếp xúc với Ox:
Đáp án A
Phương pháp: Điều kiện để đồ thị hàm số bậc ba tiếp xúc với trục là phương trình hoành độ giao điểm phải có hai nghiệm phân biệt Ox
Cách giải: Để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục Ox thì phương trình hoành độ giao điểm phải có hai nghiệm phân biệt.
Ta có:
Để (1) có 2 nghiệm phân biệt
Chú ý khi giải:HS cần xem lại các điều kiện để phương trình bậc ba có 1 nghiệm, hai nghiệm và ba nghiệm phân biệt.
Câu 7:
Một cái bồn chứa nước gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ (như hình vẽ). Đường sinh của hình trụ (như hình vẽ).
Đường sinh của hình trụ bằng hai lần đường kính của hình cầu. Biết thể tích của bồn chứa nước là .Tính diện tích xung quanh của cái bồn chứa nước theo đơn vị
Đáp án A
Phương pháp:
Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ:
Công thức tính thể tích khối trụ:
Công thức tính diện tích hình cầu:
Công thức tính thể tích khối cầu:
Cách giải: Gọi bán kính đáy của hình trụ là .
với là thể tích nửa khối cầu và là thể tích khối trụ.
Vậy
Chú ý khi giải: HS thường hay nhầm lẫn các công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích,… dẫn đến chọn sai đáp án.
Câu 8:
Cho hàm số y = f(x) xác định và có đạo hàm y=f'(x). Đồ thị của hàm số y = f'(x) như hình dưới đây.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Đáp án A
Phương pháp: Quan sát đồ thị hàm số để tìm khoảng dương, âm của , từ đó tìm được khoảng đồng biến, nghịch biến của .
Cách giải:
Từ đồ thị hàm số suy ra hàm số nghịch biến trên và (làm y'âm) và đồng biến trên (làm y'dương).
Suy ra B, C, D sai và A đúng.
Chú ý khi giải:
HS có thể nhầm lẫn thành đồ thị hàm số do đọc không kĩ đề dẫn đến chọn sai đáp án.
Câu 9:
Cho hình chóp SABC có . Hai mặt (ABC) và (ASC) cùng vuông góc với (SBC). Tính thể tích hình chóp.
Đáp án B
Phương pháp: Công thức tính thể tích khối chóp với S là diện tích đáy,h là chiều cao.
Chú ý tính chất hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng đó.
Cách giải: Ta có:
Câu 10:
Cho lăng trụ đứng cóABC.A'B'C' có . Gọi I là trung điểm của CC'. Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I).
Đáp án C
Phương pháp: Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng:
- Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.
- Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến.
Cách giải: Gọi E là giao điểm của B’I và BC.
Hai mặt phẳng (AIB') và (ACB) có giao tuyến là EA
mà hợp bởi hai mặt phẳng (AIB') và (ACB) là KAH
Ta có:
Ta có:
Ta có:
Câu 11:
Đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
Đáp án D
Phương pháp: Số tiệm cận đứng của hàm phân thức là số nghiệm của mẫu mà không là nghiệm của tử.
Cách giải: Ta thấy mẫu thức có 2 nghiệm và x = 1cũng là nghiệm của tử, không là nghiệm của tử thức nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng .
Chú ý khi giải: HS thường mắc phải sai lầm: nhận thấy mẫu có hai nghiệm phân biệt vội vàng kết luận có 2 tiệm cận dẫn đến kết quả sai.
Câu 12:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức với
Đáp án C
Phương pháp: Thêm bớt hạng tử để được các hằng đẳng thức.
Sử dụng kết quả để tìm min F và chú ý tìm điều kiện để dấu “=” xảy ra. 2
Cách giải:
Dấu “=” xảy ra hoặc
Vậy tại hoặc
Câu 13:
Cho tập A có 20 phần tử. Hỏi tập A có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng mà có số phần tử chẵn
Đáp án C
Phương pháp: Sử dụng công thức tổ hợp chập của phần tử trong khi chọn các tập hợp con có 2, 4, 6,..., 20 phần tử.
Cách giải:
*TH1: A có 2 phần tử =>có tập hợp con có 2 phần tử.
*TH2: A có 4 phần tử =>có tập hợp con có 4 phần tử.
….
*TH10: A có 20 phần tử =>có tập hợp con có 20 phần tử.
Suy ra tất cả có trường hợp.
Câu 14:
Cho hàm số có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
Đáp án B
Phương pháp: Hệ số góc của tiếp tuyến là giá trị của đạo hàm tại tiếp điểm nên để có hệ số góc nhỏ nhất thì ta cần tìm GTNN của đạo hàm.
Cách giải: Xét hàm số: trên R
Có
Dấu “=” xảy ra
Với
Vậy đường thẳng cần tìm là:
Câu 15:
Cho một hình trụ (T) có chiều cao và bán kính đều bằng 3a. Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB, CD lần lượt là hai dây cung của hai đường tròn đáy, cạnh AD, BC không phải là đường sinh của hình trụ (T). Tính cạnh của hình vuông này.
Đáp án C
Phương pháp: Gọi là tâm hình vuông .
Sử dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông để tính AB.
Cách giải:
Ta có:
Câu 16:
Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng đi qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a, diện tích xung quanh của hình nón là:
Đáp án A
Phương pháp: Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón:
Cách giải:
Có:
Chú ý khi giải: HS thường nhầm lẫn công thức tính diện tích xung quanh hình nón là với h là đường cao của hình nón.
Câu 17:
Cho hàm số .Đường thẳng đi qua điểm và có hệ số góc bằng k. Xác định k để đường thẳng đó cắt đồ thị tại 3 điểm khác nhau
Đáp án C
Phương pháp:
Viết phương trình đường thẳng đi qua A và có hệ số góc k .
Biện luận số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm để suy ra kết luận.
Cách giải:
Xét hàm số: trên R
Ta có:
Ta có (C) là hàm số bậc 3 xác định trên R, đồ thị của nó có duy nhất 2 cực trị hoặc không có điểm cực trị nào.
Ta có: là điểm cực tiểu của (C).
Ta có:
=> để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì điều kiện cần là k>0 với k là hệ số góc đường thẳng cắt (C) tại 3 điểm phân biệt
Gọi với:
Ta lại có
d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt
<=> phương trình: có 3 nghiệm phân biệt.
Phương trình vì k>0
Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt
Vậy thỏa mãn yêu cầu của bài.
Chú ý khi giải:
HS cần chú ý cách viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có hệ số góc.
Liên hệ được mối liên hệ giữa số giao điểm và số nghiệm của phương trình để biện luận.
Câu 18:
Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
Đáp án A
Phương pháp:
Đường thẳng là tiệm cận ngang của đths nếu hoặc
Đường thẳng là tiệm cận đứng của đths nếu hoặc .
Cách giải:
Vậy tiệm cận ngang đồ thị hàm số là đường thẳng
Chú ý khi giải: HS thường nhầm lẫn giữa các điều kiện để một đường thẳng là tiệm cận của đồ thị hàm số dẫn đến chọn nhầm đáp án.
Câu 19:
Cho Khi đó biểu thức với tối giản và . Tích có giá trị bằng:
Đáp án D
Phương pháp: Biến đổi phương trình đã cho để tính , từ đó thay vào biểu thức A
Cách giải:
Ta có:
vì
Vậy
Chú ý khi giải:
HS thường phân vân ở chỗ tính vì đến đó các em không biết nhận xét dẫn đến một số em có thể chọn nhầm đáp án.
Câu 20:
Cho a, b, c là ba số thực dương, khác 1 và . Biết và Khi đó, giá trị của bằng bao nhiêu?
Đáp án A
Sử dụng các công thức biến đổi logarit như:
Cách giải:
Ta có:
Chú ý khi giải: HS thường nhầm lẫn công thức logarit của một tích, hoặc đến bước cuối tính lại kết luận nhầm dẫn đến chọn nhầm đáp án.
Câu 21:
Đường cong trong hình dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây.
Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
Đáp án C
Phương pháp:
Quan sát đồ thị hàm số đã cho và nhận xét dựa trên dáng đồ thị các hàm số đa thức bậc 3, bậc 4.
Cách giải:
Đồ thị hàm số nhận (0;0) là điểm cực tiểu nên loại A, B, D.
Câu 22:
Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là
Đáp án C
Phương pháp:
- Tính đạo hàm và tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng . 0
- Tính các giá trị của hàm số tại hai đầu mút và tại các nghiệm của đạo hàm.
- Giá trị lớn nhất trong số những giá trị vừa tìm được là GTLN của hàm số trên đoạn
Cách giải:
Xét hàm số: trên
Có
Ta có bảng biến thiên:
Vậy
Chú ý khi giải:
HS thường tính sai bước đạo hàm và nhầm lẫn khi xét dấu đọa hàm dẫn đến sai kết quả.
Câu 23:
Cho n là số nguyên dương, tìm n sao cho:
Đáp án A
Phương pháp:
Biến đổi VT để xuất hiện
Sử dụng công thức
Cách giải:
Ta có:
Vậy.
Có
vì
Vậy
Chú ý khi giải:
HS thường không biết áp dụng công thức dẫn đến không tìm ra kết quả bài toán.
Câu 24:
Cho hàm số có đồ thị như hình bên.
Khẳng định nào sau đây đúng?
Đáp án A
Phương pháp:
Quan sát đồ thị và nhận xét.
Cách giải:
Ta có hàm số:
Từ chiều biến thiên của đồ thị ta có a > 0.
Có:
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị
=> phương trình: có hai nghiệm phân biệt và . Chọn
Mà
Từ đồ thị ta có:
Vậy:
Câu 25:
Tìm tổng các nghiệm của phương trình sau:
Đáp án C
Phương pháp:
Biến đổi phương trình đã cho về và đặt ẩn phụ đưa về phương trình ẩn t.
Xét hàm và tìm nghiệm của từ đó tìm ra nghiệm của phương trình.
Cách giải:
Phương trình (1):
Điều kiện:
Vì
Đặt
Phương trình (*) trở thành:
Xét hàm số trên
Có
Vì nên
đồng biến trên
Bảng biến thiên:
Mà là nghiệm duy nhất phương trình
Với
Theo định lý vi – et ta có tổng hai nghiệm phương trình (1) là:
Chú ý khi giải:
HS cần chú ý sử dụng phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình.
Câu 26:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc đáy ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc , M là trung điểm của BC. Tính thể tích hình chóp S.ABMD
Đáp án A
Phương pháp:
Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là SDA bằng cách sử dụng định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến.
Công thức tính thể tích khối chóp:
Cách giải:
Ta có:
Mà .
Vì nên góc giữa (SCD) và (ABCD) là
Ta có:
Chú ý khi giải:
HS thường xác định sai góc giữa hai mặt phẳng dẫn đến đáp số sai.
Câu 27:
Tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số luôn tăng trên R
Đáp án D
Phương pháp:
Tính y' và tìm điều kiện của để
Điều kiện để tam thức bậc hai là
Cách giải:
Xét hàm số:
Có
Hàm số đã cho tăng trên
vì
Chú ý khi giải:
HS thường nhầm lẫn điều kiện để tam thức bậc hai luôn âm, luôn dương dẫn đến chọn nhầm đáp án.
Câu 28:
Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên khoảng
Đáp án C
Phương pháp:
Xét các hàm số ở từng đáp án, tìm khoảng nghịch biến của chúng và đối chiếu điều kiện đề bài.
Cách giải:
*TH1: Đáp án A:
Hàm số: xác định trên nên loại A vì
*TH2: Đáp án B:
Xét hàm số: xác định trên
Có
=> Hàm số đồng biến trên (loại).
*TH3: Đáp án C:
Hàm số liên tục trên
Có
Hàm số: nghịch biến trên
*TH4: Đáp án D:
Hàm số: xác định trên R
Có (loại).
Vậy đáp án C thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Chú ý khi giải:
HS cần chú ý điều kiện để hàm số nghịch biến trên khoảng là .
Câu 29:
Phương trình: có nghiệm x khi:
Đáp án B
Phương pháp:
- Chia cả hai vế của phương trình cho và đặt ẩn phụ .
- Từ điều kiện ta tìm được điều kiện của t là .
- Từ phương trình ẩn t, rút và xét hàm trên , từ đó suy ra điều kiện của
Cách giải:
Phương trình: (Điều kiện: )
Ta có với Chia hai vế phương trình (*) cho ta có:
Đặt
Với thì hàm số
Phương trình (1) trở thành:
Phương trình (*) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm:
Xét hàm trên ta có:
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy để phương trình có nghiệm trong thì đường thẳng phải cắt đồ thị hàm số tại ít nhất 1 điểm.
Do đó
Vậy thì phương trình đã cho có nghiệm.
Đáp án B.
Chú ý khi giải:
- HS thường quên không tìm điều kiện của ẩn phụ hoặc tìm sai điều kiện (một số bạn chỉ đặt điều kiện sẽ dẫn đến kết quả sai) t t 0
- Ở bước kết luận, một số bạn nhầm lẫn điều kiện để có nghiệm và có 2 nghiệm nên sẽ chọn để phương trình có 2 nghiệm cũng là một kết quả sai. 1 0 m 3
Câu 30:
Cho hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm trên đoạn Xét các khẳng định sau:
1. Hàm số đồng biến trên thì
2. Giả sử suy ra hàm số nghịch biến trên
3. Giả sử phương trình có nghiệm là khi đó nếu hàm số đồng biến trên thì hàm số nghịch biến trên
4. Nếu , thì hàm số đồng biến trên
Số khẳng định đúng trong các khẳng định trên là
Đáp án A
Phương pháp:
Xét tính đúng sai của các đáp án dựa vào các kiến thức hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng xác định.
Cách giải:
*2 sai vì với bất kỳ nằm trong ta chưa thể so sánh được và
*3 sai. Vì y' bằng 0 tại điểm đó thì chưa chắc đã đổi dấu qua điểm đó. VD hàm số
*4 sai: Vì thiếu điều kiện tại hữu hạn điểm.VD hàm số có nhưng là hàm hằng.
Chú ý khi giải:
HS thường nhầm lẫn:
- Khẳng định số 4 vì không chú ý đến điều kiện bằng 0 tại hữu hạn điểm.
- Khẳng định số 3 vì không chú ý đến điều kiện đổi dấu qua nghiệm.
Câu 31:
Người ta chế tạo ra một món đồ chơi cho trẻ em theo các công đoạn như sau: Trước tiên cho trẻ em theo các công đoạn như sau: Trước tiên, chế tạo ra một mặt nón tròn xoay có góc ở đỉnh là bằng thủy tinh có bán kính lớn, nhỏ khác nhau sao cho 2 mặt cầu tiếp xúc với nhau và đều tiếp xúc với mặt nón. Quả cầu lớn tiếp xúc với cả mặt đáy của mặt nó. Cho biết chiều cao của mặt nón bằng 9cm. Bỏ qua bề dày của những lớp vỏ thủy tinh, hãy tính tổng thể tích của hai khối cầu.
Đáp án B
Phương pháp:
Tính bán kính hai khối cầu dựa vào các mối quan hệ đường tròn nội tiếp tam giác.
Tính thể tích hai khối cầu đã cho theo công thức và suy ra kết luận.
Cách giải: Cắt món đồ chơi đó bằng mặt phẳng đứng đi qua trục hình nón.
Gọi P, H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, I, J trên AB.
Vì
đều.
Vì IM là bán kính mặt cầu nội tiếp tam giác đều ABC nên
Gọi là tiếp tuyến chung của hai đường tròn. Vì đều nên dẫn đến đều.
Suy ra bán kính đường tròn nội tiếp:
Vậy tổng thể tích là:
Chú ý khi giải:
Cần chú ý vận dụng các mối quan hệ đường tròn nội, ngoại tiếp tam giác đều trong việc tính bán kính các khối cầu.
Câu 32:
Cho khối chóp S.ABC có thể tích là . Tam giác SAB có diện tích là . Tính khoảng cách d từ C đến mặt phẳng (SAB).
Đáp án D
Phương pháp:
Dựa vào công thức tính thể tích khối chóp
để suy ra chiều cao hạ từ C đến mp (SAB).
Cách giải:
Gọi khoảng cách từ C đến (SAB) là h.
Theo công thức thể tích khối chóp, ta có:
Chú ý khi giải:
HS cần áp dụng đúng công thức tính thể tích.
Câu 33:
Cho nửa đường tròn đường kính và một điểm C thay đổi trên nửa đường tròn đó, đặt và gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB. Tìm sao cho thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi xoay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn nhất:
Đáp án C
Phương pháp:
- Tính thể tích khối nón có được khi quay tam giác ACH quanh AB (hay AH) bằng công thức với đáy là hình tròn tâm H bán kính CH và chiều cao là AH.
- Tìm GTLN của thể tích dựa vào phương pháp xét hàm, từ đó tìm được AH.
Cách giải: Thể tích khối nón khi quay quay quanh AB:
Chú ý khi giải:
Ở bước kết luận nhiều HS sẽ kết luận sai góc là góc dẫn đến chọn sai đáp án.
Câu 34:
Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
Đáp án D
Phương pháp:
Phương trình đã cho có nghiệm <=> đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số tại ít nhất 1 điểm nên ta xét hàm f(x), từ đó tìm ra điều kiện của m.
Cách giải:
Xét hàm số: trên
(loại)
Ta có bảng biến thiên:
Vậy để phương trình f(x) có nghiệm thì:
Câu 35:
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=a, BC=2a. Tính thể tích khối nón nhận được khi quay tam giác ABC quanh trục BC.
Đáp án A
Phương pháp:
Công thức tính thể tích khối nón: với S là diện tích hình tròn đáy và h là đường cao.
Cách giải:
Gọi A’ đối xứng với A qua BC. Khi quay tam giác quanh trục BC ta sẽ được hai khối nón có đáy là hình tròn tâm H bán kính R và lần lượt có chiều cao là BH và CH.
Ta có:
Câu 36:
Một cốc nước có dạng hình trụ chiều cao là 15cm, đường kính đáy là 6cm, lượng nước ban đầu trong cốc cao 10cm. Thả vào cốc nước 5 viên bị hình cầu có cùng đường kính là 2cm. Hỏi sau khi thả 5 viên bị, mực nước trong cốc cách miệng cốc bao nhiêu cm? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp án B
Phương pháp:
Tính thể tích mỗi viên bi hình cầu: viên có thể tích
Tính thể tích lượng nước ban đầu (cột nước hình trụ):
Tính tổng thể tích cả bi và nước lúc sau , từ đó suy ra chiều cao cột nước lúc sau và khoảng cách từ mặt nước đến miệng cốc.
Cách giải:
Chú ý khi giải:
Các em có thể sẽ quên không tính thể tích của 5 viên bi, hoặc nhầm lẫn đường kính 6cm thành bán kinh 6cm dẫn đến các thể tích bị sai.
Câu 37:
Cho và đường tròn . Ảnh của (C) qua T là
Đáp án B
- Ảnh của đường tròn qua phép tịnh tiến là một đường tròn có cùng bán kính.
- Xác định tâm đường tròn mới qua phép tịnh tiến rồi viết phương trình đường tròn mới có tâm vủa tìm được và bán kính là bán kính đường tròn đã cho.
- Điểm là ảnh của qua phép tịnh tiến theo véc tơ nếu
Cách giải:
Ta có:
Tọa độ tâm I của đường tròn (C) là:
Suy ra ảnh I’ của I qua là .
Chú ý khi giải:
HS thường hay nhầm lẫn biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến dẫn đến tìm sai tọa độ điểm I’
Câu 38:
Hãy lập phương trình đường thẳng (d) đi qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số
Đáp án B
Phương pháp:
- Gọi là một điểm cực trị của hàm số , khi đó
- Từ hệ trên ta tìm được phương trình đường thẳng đi qua .
Cách giải:
Có:
Phương trình đường thẳng d đi qua 2 cực trị của (C) nên thỏa mãn:
Chú ý khi giải:
Các em cũng có thể giải bài toán bằng cách khác:
- Tính y'.
- Thực hiện phép chia y cho y' ta sẽ tìm được đa thức dư là kết quả bài toán.
Câu 39:
Cho khối chóp S.ABC có , tam giác ABC vuông tại B, Tính thể tích khối chóp S.ABC biết rằng .
Đáp án A
Phương pháp:
Câu 40:
Bên cạnh con đường trước khi vào thành phố người ta xây một ngọn tháp đèn lộng lẫy. Ngọn tháp hình tứ giác đều S.ABCD cạnh bên mét, . Do sự cố đường dây điện tại điểm Q (là trung điểm của SA) bị hỏng, người ta tạo ra một con đường từ A đến Q gồm bốn đoạn thẳng: AM, MN, NP, PQ (hình vẽ). Để tiết kiệm kinh phí, kỹ sư đã nghiên cứu và nó được chiều dài con đường từ A đến Q ngắn nhất.
Tính tỷ số
Đáp án A
Phương pháp:
Trải 4 mặt của hình chóp ra mặt phẳng và tìm điều kiện để là nhỏ nhất.
Cách giải:
Ta “xếp” 4 mặt của hình chóp lên một mặt phẳng, được như hình bên:
Như hình vẽ ta tháy, để tiết kiệm dây nhất thì các đoạn AM, MN, NP, PQ phải tạo thành một đoạn thẳng AQ.
Lúc này, xét có:
(Vì do tính chất của đường phân giác SN).
Câu 41:
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại x=1
Đáp án D
Phương pháp:
Điểm là điểm cựa tiểu của hàm số bậc ba nếu
Cách giải:
TXĐ:
Ta có:
Để x=1 là điểm cực tiểu của hàm số bậc ba với hệ số dương thì:
Chú ý khi giải:
Nhiều HS sẽ nhầm lẫn điều kiện để điểm là điểm cực tiểu là dẫn đến chọn đáp án m=3 là sai
Câu 42:
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), . Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
Đáp án B
Phương pháp:
- Chứng minh vuông tại B, tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy.
- Sử dụng công thức với R là bán kính hình cầu ngoại tiếp khối chóp, h là chiều cao, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Cách giải:
Ta có:
vuông tại B.
Gọi M là trung điểm AC.
là tâm đường tròn ngoại tiếp
Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy.
R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
h là chiều cao hình chóp.
Ta có công thức sau:
Chú ý khi giải:
HS cần linh hoạt trong việc chứng minh vuông tại B và biết sử dụng công thức liên hệ giữa R, r, h.
Câu 43:
Cho 3 đồ thị hàm số sau (như hình vẽ).
Khẳng định nào sau đây đúng?
Đáp án D
Phương pháp:
Chọn điểm cụ thể x=2 rồi suy ra , từ đó chọn được đáp án.
Cách giải:
Theo như đồ thị hàm số, chọn x=2, ta có:
Câu 44:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC=abiết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc . Tính thể tích hình chóp.
Đáp án B
Phương pháp:
Xác định góc bằng phương pháp xá định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
Thể tích khối chóp
Cách giải:
vuông cân tại B có
Mà vuông tại A có
Câu 45:
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: Giá trị M+n bằng:
Đáp án C
Phương pháp:
Biến đổi hàm số về hàm số bậc hai đối với , đặt và tìm GTLN, GTNN của hàm số với chú ý
Cách giải:
Ta có:
Đặt
Chú ý khi giải:
HS thường nhầm lẫn khi tìm GTLN, GTNN của hàm số, hoặc ở bước đặt ẩn phụ quên không đặt điều kiện cho ẩn mới.
Câu 46:
Cho hàm số có đồ thị như hình bên.
Xác định tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có 6 nghiệm thực phân biệt.
Đáp án C
Phương pháp:
- Vẽ đồ thị hàm số từ đồ thị hàm số : giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới qua trục hoành.
- Điều kiện để phương trình có 6 nghiệm phân biệt là đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 6 điểm phân biệt.
Cách giải:
Ta có đồ thị hàm số .
Lúc này, để phương trình có 6 nghiệm phân biệt thì đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 6 điểm phân biệt.
Chú ý khi giải:
HS thường nhầm lẫn cách vẽ các đồ thị hàm số và , hoặc ở bước giải bất phương trình kết hợp nghiệm sai dẫn đến chọn sai đáp án.
Câu 47:
Tập xác định của hàm số là:
Đáp án B
Phương pháp:
Điều kiện để hàm số lũy thừa với số mũ không nguyên là cơ số phải dương.
Cách giải:
Vì là số vô tỉ nên điều kiện là cơ số lớn hơn 0.
Chú ý khi giải:
HS rất hay nhầm lẫn khi tìm điều kiện xác định của hàm số lũy thừa, đó là cho cơ số có thể bằng 0 dẫn đến chọn nhầm đáp án D.
Câu 48:
Có 10 vị nguyên thủ Quốc gia được xếp ngồi vào một dãy ghế dài (Trong đó có ông Trum và ông Kim). Có bao nhiêu cách xếp sao cho hai vị ngày ngồi cạnh nhau?
Đáp án A
Phương pháp:
- Coi hai ông Trum và Kim là một người thì bài toán trở thành xếp 9 người vào dãy ghế.
- Lại có 2 cách đổi chỗ hai ông Trum và Kim nên từ đó suy ra đáp số.
Cách giải:
Kí hiệu 10 vị nguyên thủ là a, b, c, d, e, f, g, h, i, k.
Và hai ông Trum, Kim lần lượt là a, b.
Nếu ông Trum ngồi lên bên trái ông Kim, tương đương xếp vào 9 vị trí. Ta có cách.
Vậy tổng hợp lại, có cách.
Câu 49:
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại và cực tiểu
Đáp án B
Phương pháp:
Điều kiện để hàm đa thức bậc ba có cực đại, cực tiểu là phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Cách giải:
TH1: Hàm số không có cực trị.
TH2: TXĐ:
Ta có:
Để hàm số cho có cực đại, cực tiểu thì phương trình phải có 2 nghiệm phân biệt
Câu 50:
Cho hàm số giá trị nhỏ nhất của hàm số trên bằng 2
Đáp án D
Tính y’ và tìm nghiệm của .
- Biện luận các trường hợp điểm x=3 nằm trong, nằm ngoài khoảng 2 nghiệm để suy ra kết luận.
Cách giải:
TXĐ:
Ta có:
Xét TH1: m=0 . Hàm số đồng biến trên . loại.
Xét TH2: . Khi đó, hàm số nghịch biến trên
(loại)
Xét TH3: thì đồ thị hàm số có điểm cực đại là và điểm cực tiểu là
Khi đó , GTNN trên là
(thỏa mãn)
Xét TH4: là điểm cực tiểu và trên hàm số đồng biến.
loại.
Vậy m=1 là giá trị cần tìm.
Đáp án D.
Chú ý khi giải:
HS cần phải xét tất cả các trường hợp và chú ý loại nghiệm. nhiều em sai lầm kết luận mà không chú ý điều kiện của trường hợp đó là