Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi N là trung điểm của SB, M là điểm đối xứng với B qua A. Mặt phẳng (MNC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích lần lượt là ${\mathrm{V}}_1,{\mathrm{V}}_2$ với ${\mathrm{V}}_1<{\mathrm{V}}_2$. Tính tỉ số $\frac{{\mathrm{V}}_1}{{\mathrm{V}}_2}$.

Tính đạo hàm của hàm số $\mathrm{y}=\sin \left(\mathrm{lnx}\right)$.

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).

Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quãng đường s (mét) đi được của đoàn tàu là một hàm số theo thời gian t (giây) $\mathrm{s}\left(\mathrm{t}\right)=-2{\mathrm{t}}^3+6{\mathrm{t}}^2+1$. Thời điểm t (giây) mà tại đó vận tốc $\mathrm{v}\left(\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)$ của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là

Gọi A,B,C là các điểm biểu diễn số phức ${\mathrm{z}}_1,{\mathrm{z}}_2,{\mathrm{z}}_3$ là nghiệm của phương trình $\mathrm{z}\left(\mathrm{z}-1-2\mathrm{i}\right)\left(\mathrm{z}-2+\mathrm{i}\right)=0$. Tính diện tích S của tam giác ABC.

Cho hai đường thẳng d và d’ song song với nhau. Trên d lấy 5 điểm phân biệt, trên d’ lấy 7 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó được lấy từ các điểm trên hai đường thẳng d và d’.

Cho hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$ liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ và có bảng xét dấu của $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$ như sau

Tìm số cực trị của hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$

Một người mua xe máy trả góp với giá tiền là 50 triệu đồng, mức lãi suất 2% một tháng (lãi suất tính với số tiền còn nợ). Cứ sau mỗi tháng, người đó trả 3 triệu đồng cả gốc và lãi. Hỏi sau 12 tháng kể từ ngày người ấy mua xe, số tiền còn nợ là bao nhiêu triệu đồng?

Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường $\mathrm{y}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}$, y = 0, x = -2, x= 2. Đường thẳng $\mathrm{x}=\mathrm{k}\left(-2<\mathrm{k}<2\right)$ chia (H) thành hai phần $\left({\mathrm{S}}_1\right),\left({\mathrm{S}}_2\right)$ như hình vẽ dưới. Cho $\left({\mathrm{S}}_1\right)$ và $\left({\mathrm{S}}_2\right)$ quay quanh trục Ox ta thu được hai khối tròn xoay có thể tích lần lượt là ${\mathrm{V}}_1$ và ${\mathrm{V}}_2$. Xác định k để ${\mathrm{V}}_1={\mathrm{V}}_2$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng đi qua $\mathrm{A}\left(-1;0;1\right)$ và song song với trục Oy

Cho $\mathrm{a}={\log }_{2}3$ và $\mathrm{b}={\log }_{3}5$. Tính ${\log }_{6}45$

Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng a, chiều cao bằng $\mathrm{a}\sqrt{2}$. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm O' sao cho AB' = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO′B′A.

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bên bằng a và góc giữa các mặt bên và mặt phẳng đáy bằng ${60}^0$. Tính thể tích của khối nón có đỉnh S và đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Hàm số $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^3-3\mathrm{x}+1$ đồng biến trên các khoảng

Tìm số thực a sao cho $\underset{\mathrm{a}}{\overset{3}{\int }}{\left(\mathrm{x}+1\right)}^2\mathrm{dx}=21$.

Tìm các giá trị thực của m để đường thẳng $\mathrm{y}=2\mathrm{x}+\mathrm{m}$ cắt đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\frac{1-\mathrm{x}}{\mathrm{x}+2}$ tại hai điểm phân biệt?