Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{-3}$ và cho mặt phẳng $\left(P\right):x + y + z - 4 = 0.$ Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

Cho hình chóp .S ABC có các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy các góc bằng nhau và đều bằng ${30}^0$ Biết AB = 5; AC = 8; BC = 7, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng

Biết rằng đường thẳng y = 2x -3 cắt đồ thị hàm số $y=x^3+x^2+2x-3$ tại hai điểm phân biệt A và B, biết điểm B có hoành độ âm. Hoành độ của điểm B bằng

Một thùng rượu có bán kính đáy là thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có bán kính là 40 cm, chiều cao thùn rượu là 1m (hình vẽ). Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích của thùng rượu (đon vị lít) là bao nhiêu?   

Cho số thực x thỏa mãn $\log x=\frac{1}{2}\log 3a-2\log b+3\log \sqrt{c}$ (a,b,c là các số thực dương). Hãy biểu diễn x theo a, b, c.

Với giá trị thực nào của tham số m thì đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số $y=\frac{x+3}{x+1}$ tại hai điểm phân biệt M, N sao cho MN ngắn nhất?

Đường thẳng x = k cắt đồ thị hàm số $y={\log }_{5}x$ và đồ thị hàm số $y={\log }_3(x+4)$. Khoảng cách giữa các giao điểm là 1/2. Biết $k=a+\sqrt{b},$trong đó a, b là các số nguyên. Khi đó tổng a + b bằng

Tích vô hướng của hai véc tơ $\overrightarrow{a}(-2;2;5),\overrightarrow{b}(0;1;2)$ 

Cho tứ diện ABCD có $AB=a,AC=a\sqrt{2},AD=a\sqrt{3},$ các tam giác ABC, ACD, ABD là các tam giác vuông tại đỉnh A. Khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) là

Kết quả (b; c) của việc gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp, trong đó b là số chấm xuất hiện của lần gieo thứ nhất, c là số chấm xuất hiện của lần gieo thứ hai được thay vào phương trình bậc hai $x^2+bx+c=0.$  Xác suất để phương trình bậc hai đó vô nghiệm là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1;2;-1), B(0;4;0), mặt phẳng (P) có phương trình $2x - y - 2z + 2017 = 0.$ Mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và tạo với mặt phẳng (P) một góc nhỏ nhất. (Q) có một véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}=(1;a;b),$ khi đó a + b bằng

Gọi S là tập tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng $d:y = x + 1$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{4x-m^2}{x-1}$ tại đúng một điểm. Tích các phần tử của S bằng

Bạn An cần mua một chiếc gương đường viền là Parabol bậc 2 (xem hình vẽ). Biết rằng khoảng cách đoạn AB = 60cm, OH = 30cm. Diện tích của chiếc gương bạn An mua là:  

Nếu $\underset{-2}{\overset{0}{\int }}\left(4-e^{-\frac{\pi }{2}}\right)dx=a+2be$ thì giá trị của a + 2b là

Cho hàm số $y=x^3-\frac{3}{4}{x}^2-\frac{3}{2}x$ có đồ thị như vẽ bên. Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình $4\left|x^3\right|-3x^2-6\left|x\right|=m^2-6m$ có đúng ba nghiệm phân biệt là

Trên cánh đồng có 2 con bò được cột vào 2 cây cọc khác nhau. Biết khoảng cách giữa hai cọc là 4 mét, còn 2 sợi dây cột 2 con bò dài 3 mét và 2 mét. Tính phần diện tích mặt cỏ lớn nhất mà 2 con bò có thể ăn chung (lấy giá trị gần đúng nhất).