Một hình nón đỉnh S có bán kính đáy bằng $2a\sqrt{3}$, góc ở đỉnh là ${120}^{\circ }$. Thiết diện qua đỉnh của hình nón là một tam giác. Diện tích lớn nhất $S_{max}$ của thiết diện đó là bao nhiêu?

Cho A, B là hai biến cố xung khắc. Đẳng thức nào sau đây đúng?

Cho hình lăng trụ đứng có diện tích đáy là $3a^2$, độ dài cạnh bên bằng 2a. Thể tích khối lăng trụ này bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, $\widehat{ADC}={60}^{\circ }$. Gọi O là giao điểm của AC và BD, SO vuông góc với (ABCD) và SO=a. Góc giữa đường thẳng SD và (ABCD) bằng

Cho 4 số thực a, b, c, d là 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Biết tổng của chúng bằng 4 và tổng các bình phương của chúng bằng 24. Tính $P=a^3+b^3+c^3+d^3$

Cho đường thẳng $∆$: 3x-4y-19=0 và đường tròn $\left(C\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=25$. Biết đường thẳng $∆$ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B, khi đó độ dài đoạn thẳng AB là

Tích các nghiệm của phương trình ${\log }_3\left(3x\right).{\log }_3\left(9x\right)=4$ là

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn ${\log }_3{\left[\left(x+3\right)\left(y+1\right)\right]}^{y+1}=9-\left(x-1\right)\left(y+1\right)$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x+2y là:

Cho tanx=2. Giá trị của biểu thức $P=\frac{4\sin x+5\cos x}{2\sin x-3\cos x}$ là

Cho các hàm số $y=f\left(x\right),y=f\left[f\left(x\right)\right],y=f\left(x^2+4\right)$ có đồ thị lần lượt là $\left(C_1\right);\left(C_2\right);\left(C_3\right)$. Đường thẳng x=1 cắt $\left(C_1\right);\left(C_2\right);\left(C_3\right)$ lần lượt tại M, N, P. Biết phương trình tiếp tuyến của $\left(C_1\right)$ tại M và của $\left(C_2\right)$ tại N lần lượt là y=3x+2 và y=12x-5. Phương trình tiếp tuyến của $\left(C_3\right)$ tại P bằng:

Cho hàm số $y=\left\{\begin{array}{l}{x}^2+ax+b khi x\ge 2\\ x^3-x^2-8x+10 khi x<2\end{array}\right.$. Biết hàm số có đạo hàm tại x=2. Giá trị của $a^2+b^2$ bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Mặt phẳng qua AB và trung điểm M của SC cắt hình chóp theo thiết diện có chu vi bằng 7a (tham khảo hình vẽ bên). Thể tích của khối nón có đỉnh là S và đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD bằng:

Cho đa giác đều có 14 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong số 14 đỉnh của đa giác. Tìm xác suất để 3 đỉnh được chọn là 3 đỉnh của một tam giác vuông.

Trên kệ sách có 15 cuốn sách khác nhau gồm: 10 sách Toán và 5 sách Văn. Lần lượt lấy 3 cuốn mà không để lại vào kệ. Tìm xác suất để láy được hai cuốn đầu là sách Toán và cuốn thứ ba là sách Văn.

Cho phương trình $e^{m.\cos x-\sin x}-e^{2\left(1-\sin x\right)}=2-\sin x-m.\cos x$ với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm. Khi đó S=($-\infty ;a$]$\cup$[$b;+\infty$). Tính T=10a+20b

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật,AB=3,BC=4. Tam giác SAC nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng SA bằng 4. Côsin góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng