Một hình hộp chữ nhật có kích thước $4\times 4\times h$ cứa một khốhi cầu bán kính bằng 2 và tám khối cầu nhỏ hơn có bán kính bằng 1. Các khối cầu nhỏ đôi một tiếp xúc nhau và tiếp xúc với ba mặt của hình hộp, khối cầu lớn tiếp xúc với cả tám khối cầu nhỏ (xem hình vẽ). Tìm giá trị của h.

 

$\left(H\right)$Cho hình lập phương . Gọi $\left(H\text{'}\right)$ là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của $\left(H\right)$. Tính tỉ số thể tích của $\left(H\text{'}\right)$ và $\left(H\right)$.

Giả sử hàm chỉ mức mức sản xuất của một hãng DVD trong một ngày là $q(m,n)=m^{\frac{2}{3}}{n}^{\frac{1}{3}}$, trong đó m là số lượng nhân viên và n là số lượng lao động chính. Mỗi ngày hãng phải sản xuất được ít nhất 40 sản phẩm để đáp ứng nhu cầu của khách hàng. Biết rằng tiền lương một ngày cho một nhân viên là 16 USD và cho một lao động chính là 27 USD. Tìm giá trị nhỏ nhất của chi phí trong một ngày của hãng sản xuất này.

Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Giả sử con súc sắc xuất hiện mặt b chấm. Tính xác suất sao cho phương trình $x^2-bx+b-1=0$ (x là ẩn số) có nghiệm lớn hơn 3.

Cho hai số thực dương a và b. Rút gọn biểu thức $A=\frac{a^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}\sqrt{b}+b^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}}$.

Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đều bằng a. Mặt phẳng đi qua A'B' và trọng tâm tam giác ABC cắt AC và BC lần lượt tại E và F. Tính thể tích V của khối chóp C.A'B'FE.

Trong các dãy số có số hạng tổng quát dưới đây, dãy số nào là dãy giảm?

Đẳng thức nào dưới đây không đúng với mọi $x\in \mathrm{ℝ}$?

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z có phần thực bằng ‒2.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Trong không gian Oxyz tính khoảng cách d giữa hai mặt phẳng cho bởi các phương trình $z-2=0$ và $z-8=0$.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị là đường gấp khúc như hình vẽ bên. Tính ${\int }_0^{9}f\left(x\right)dx$.

Cho số phức $z=2-5i$. Tìm phương trình bậc hai nhận $\frac{1}{z}$ và $\frac{1}{\overline{z}}$ làm nghiệm.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn tâm I(2;-2), bán kính R = 4. Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn (I;R) qua phép vị tự tâm O, tỉ số $\frac{1}{2}$.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=x^3-3x^2+2$ có đồ thị như hình vẽ bên. Trong bốn đường cong dưới đây, đường nào là đồ thị của hàm số $y=\left(\left|x\right|+1\right)$?

Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox, cạnh huyền OM không đổi, $OM=R\left(R>0\right)$ . Tính theo R giá trị lớn nhất của thể tích khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh trục Ox.