Trong không gian Oxyz, cho điểm A(4;2;-3) và hai đường thẳng ${\mathrm{d}}_1:\frac{\mathrm{x}}{4}=\frac{\mathrm{y}}{6}=\frac{\mathrm{z}}{-1},{\mathrm{d}}_2:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-1+2\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=2+3\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=4-\mathrm{t}\end{array}\right..$ Đường thẳng d đi qua điểm A, đồng thời vuông góc với hai đường thẳng ${\mathrm{d}}_1,{\mathrm{d}}_2$ có phương trình là:

Cho tam giác ABC vuông cân tại A và BC = a. Trên đường thẳng qua A vuông góc với (ABC) lấy điểm S sao cho $\mathrm{SB}=\frac{\mathrm{a}\sqrt{6}}{3}.$ Góc giữa đường thẳng SB và (ABC) là

Cho hình chóp S.ABC có $\mathrm{SA}=\mathrm{SB}=\mathrm{SC}=\mathrm{a}\sqrt{2}$ và đáy là tam giác ABC cân tại A. Biết $\mathrm{BAC}=120°$ và BC = 2a. Thể tích khối chóp S.ABC là

Người ta định xây dựng một trạm biến áp 110Kv tại ô đất C đường quốc lộ MN để cấp điện cho hai khu công nghiệp A và B như hình vẽ. Hai khu công nghiệp A và B cách quốc lộ lần lượt là AM = 3km, BN = 6km. Biết rằng quốc lộ MN dài 12km. Hỏi phải đặt trạm biến áp cách khu công nghiệp A bao nhiêu km để tổng chiều dài đường dây cấp điện cho hai khu công nghiệp A và B là ngắn nhất 

Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A, AB=2a và ACB = $30°.$. Thể tích V của khối nón nhận được khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC là

Đặt ${\log }_{7}12=\mathrm{a},{\log }_{12}24=\mathrm{b}.$ Hãy biểu diễn ${\log }_{54}168$ theo a và b.

Cho hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{ax}}^3+{\mathrm{bx}}^2+\mathrm{cx}+\mathrm{d}$ có đồ thị (C), đồ thị y = f '(x) như hình vẽ bên. Biết đồ thị hàm số y = f(x) có điểm cực tiểu có tung độ bằng $\frac{2}{3}$. Tính $3\mathrm{a}-\mathrm{b}+5\mathrm{c}+3\mathrm{d}$  bằng?

Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm $\mathrm{A}\left(0;2;1\right),\mathrm{B}\left(3;0;1\right),\mathrm{C}\left(1;0;0\right).$ 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB, E là trung điểm của CB, I là giao điểm của AE và BD. Khi đó IG sẽ không song song với mặt phẳng nào dưới đây?

Cho mặt cầu (S) có tâm I(2;1;-1) và tiếp xúc với mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) có phương trình 2x-2y-z +3 = 0. Bán kính mặt cầu (S) là

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2,$ và đường thẳng y = 2x là

Hàm số $\mathrm{y}=\cos \left(4\mathrm{x}+3\right)$ tuần hoàn với chu kì

Gọi ${\mathrm{x}}_1;{\mathrm{x}}_2$ là 2 nghiệm của phương trình $3^{4\mathrm{x}+8}-4{.3}^{2\mathrm{x}+5}+27=0.$ Tính $\mathrm{S}={\mathrm{x}}_1.{\mathrm{x}}_2$

Hàm số y = f(x) có đạo hàm $\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=-{\left(\mathrm{x}-1\right)}^2-1,\forall \mathrm{x}\in \mathrm{ℝ}.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) xác định trên khoảng (-2;-1) và có $\underset{\mathrm{x}\to {(-2)}^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=2,\underset{\mathrm{x}\to {(-1)}^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=-\infty .$ Khẳng định nào dưới đây đúng?

Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, các cạnh bên bằng 2a. Gọi M là trung điểm SB, N là điểm trên cạnh SC sao cho SN=3NC. Thể tích khối chóp A.BCNM có giá trị nào sau đây?