Biết $\underset{0}{\overset{2}{\int }}2x\ln \left(x+1\right)dx=a\ln b,$ với $a,b\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{\ast }$ và b là số nguyên tố. Tính 6a + 7b

Phương trình tiếp tuyến của đường cong $y=x^3+3x^2-2$ tại điểm có hoành độ $x_0=1$ là:

Cho dãy số $\left(U_n\right)$ xác định bởi $U_1=\frac{1}{3}$ và $U_{n+1}=\frac{n+1}{3n}{U}_n.$ Tổng $S=U_1+\frac{U_2}{2}+\frac{U_3}{3}+\mathrm{...}+\frac{U_{10}}{10}$ bằng:

Cho hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ có đồ thị (C) biết rằng (C) đi qua điểm A(-1;0) tiếp tuyến d tại A của (C) cắt (C) tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2, diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị (C) và hai đường thẳng x = 0; x = 2 có diện tích bằng $\frac{28}{5}$ (phần gạch chéo trong hình vẽ). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị (C) và hai đường thẳng $x=-1;x=0$ có diện tích bằng:

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông BA = BC = a, cạnh bên $A{A}^{\text{'}}=a\sqrt{2}.$ M  là trung điểm của BC. Khoảng cách giữa AM và B'C là:

Mệnh đề nào dưới đây sai?

Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] trục hoành và hai đường thẳng $\mathrm{x}=\mathrm{a},\mathrm{x}=\mathrm{b}\left(\mathrm{a}\le \mathrm{b}\right)$ có diện tích S là:

Khối đa diện nào dưới đây có công thức tính thể tích là $V=\frac{1}{3}Bh$ (với B là diện tích đáy; h là chiều cao)

Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ?

Tập xác định của hàm số $y=\frac{1-\cos x}{\sin x-1}$ là:

Gọi x, y là các số thực dương thỏa mãn ${\log }_{9}x={\log }_{6}y={\log }_4\left(x+y\right)$ và $\frac{x}{y}=\frac{-a+\sqrt{b}}{2},$ với a, b là hai số nguyên dương. Tính tổng T = a + b

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 3a, $SA=a\sqrt{3}$ vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) bằng:

Gọi $z_1,z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^2+4=0.$ Gọi M, N là các điểm biểu diễn của các số phức $z_1,z_2$ trên mặt phẳng tọa độ. Tính T = OM + ON với O là gốc tọa độ.

Cho khối chóp S.ABC có SA = SB = SC = a và $\widehat{ASB}=\widehat{BSC}=\widehat{CSA}={30}^{\circ }.$ Mặt phẳng ($\alpha$) qua A và cắt hai cạnh SB, SC tại B', C' sao cho chu vi tam giác AB'C' nhỏ nhất. Tính $k=\frac{V_{S.A{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}}{V_{S.ABC}}.$

Tìm số nghiệm của phương trình ${\log }_3\left(2x-1\right)=2.$

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\sin 3x$ là: