Cho x; y; z; t $\in \left(\frac{1}{4};1\right)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$$\begin{gathered} P:={\log }_x\left(y-\frac{1}{4}\right)+{\log }_y\left(z-\frac{1}{4}\right) \\ +{\log }_z\left(t-\frac{1}{4}\right)+{\log }_t\left(x-\frac{1}{4}\right) \end{gathered}$$

Tìm điều kiện của a,b để hàm số

$y={\left(x+a\right)}^3+{\left(x+b\right)}^3-x^3$ có cực trị

Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 5cosx - cos5x trên đoạn $\left[-\frac{\mathrm{\pi }}{3};\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right]$. Tính Mm

Viết phương trình parabol đi qua các điểm cực trị của đồ thị $\left(C\right):y=x^3-3x^2+4$ và tiếp xúc với đường thẳng y = -2x + 2

Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ công ty sữa, người ta gửi đến bộ phận kiểm nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và 3 hộp sữa nho. Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên 3 hộp sữa để phân tích mẫu. Tính xác suất để 3 hộp sữa được chọn có cả 3 loại.

Tìm m để phương trình

$$\begin{gathered} 3{\log }_{27}\left(2x^2-x+2m-4m^2\right) \\ +{\log }_{\frac{1}{\sqrt{3}}}\left(x^2+mx-2m^2\right)=0 \end{gathered}$$

có hai nghiệm $x_1;x_2$ sao cho ${x_1}^2+{x_2}^2>1$

Cho $n\in \mathrm{\mathbb{N}};n>3$ thỏa mãn phương trình

$$\begin{gathered} {\log }_4\left(n-3\right)+{\log }_4\left(n+9\right) \\ =3 \end{gathered}$$

Tổng phần thực và phần ảo của số phức $z={\left(1+i\right)}^n$

Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n > 4 ). Tìm n biết rằng trong số các phần tử của A có đúng 16n tập con có số phần tử là lẻ.

Cho góc a thỏa mãn $\mathrm{\pi }<\mathrm{a}<\frac{3\mathrm{\pi }}{2}$ và sina - 2cosa = 1. Tính A = 2tana- cosa

Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+2$ có điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với đường tròn

$$\begin{gathered} \left(C_m\right):x^2+y^2-2mx \\ -4my+5m^2-1=0 \end{gathered}$$

Tính giới hạn

$$\begin{gathered} lim\left(1-\frac{2}{2.3}\right)\left(1-\frac{2}{3.4}\right) \\ ....\left(1-\frac{2}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\right) \end{gathered}$$

Tìm các nghiệm $x\in \left(0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$ của phương trình sau

$$\begin{gathered} 4{\sin }^2\left(\mathrm{\pi }-\frac{\mathrm{x}}{2}\right)-\sqrt{3}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-2x\right) \\ =1+2{\cos }^2\left(x-\frac{3\mathrm{\pi }}{4}\right) \end{gathered}$$

Cho khai triển nhị thức: ${\left(\sqrt[3]{\frac{a}{b}}+\frac{b^2\sqrt[3]{b^2}}{a\sqrt[3]{a^2}}\right)}^{3n}$ với

$a\ne 0;b\ne 0$. Hãy xác định hệ số của số hạng có tỉ số lũy thừa của a và b bằng $-\frac{1}{2}$ biết rằng

$$\begin{gathered} 3C_{24}^0-\frac{1}{2}{C}_{2n}^1+C_{2n}^2 \\ -\frac{1}{4}{C}_{2n}^3+...+ \\ \frac{3}{2n+1}{C}_{2n}^{2n}=\frac{10923}{5} \end{gathered}$$

Cho ${\log }_{12}\left(6\right)=a;{\log }_{12}\left(7\right)$. Hãy tính ${\log }_2\left(7\right)$

Trong không gian Oxyz, viết phương trình tập hợp các điểm M sao cho $\widehat{AMB}={90}^o$ với A ( 2;-1;-3 ); B ( 0;-3;5 )

Cho phương trình

$8z^2-4\left(a+1\right)z+4a+1=0$

với a là tham số. Tìm $a\in \mathrm{ℝ}$ để phương trình có hai nghiệm $z_1;z_2$ thỏa mãn $\frac{z_1}{z_2}$là số ảo, trong đó $z_2$ là số phức có phần ảo dương.