Cho x; y là các số thực dương thỏa mãn  xy = 4; $x\ge \frac{1}{2}$; $y\ge 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$P={\left({\log }_{\frac{1}{2}}\left(x\right)\right)}^3+{\left({\log }_{\frac{1}{2}}\left(y-1\right)\right)}^3$

Đồ thị hàm số nào sau đây luôn nằm dưới trục hoành

Giả sử M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = $\left|x^3-9x^2+24x-68\right|$ trên đoạn [ -1;4 ]. Khi đó giá trị $\frac{m}{M}$ bằng

Tìm m để phương trình  $m{\sin }^2\left(x\right)-\left(m-2\right)\sin \left(2x\right)+m{\cos }^2\left(x\right)=5$  có hai nghiệm $x\in \left(-\frac{\mathrm{\pi }}{2};\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$

Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là sai?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với cạnh $a\sqrt{3};\widehat{BAD}={120}^o$ và cạnh bên SA$\perp$(ABCD). Biết số đo của góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABCD ) bằng ${60}^o$. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng BD và SC.

Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y=\frac{\left(2m-1\right)x+1}{x-m}$ có tiệm cận ngang là y = 3

Gọi S là tập các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được chọn từ các số 0, 1, 2, 3, ,4 ,5 ,6. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Tính xác suất để số được chọn là số chẵn đồng thời chữ số hàng đơn vị bằng tổng các chữ số hàng chục, trăm và nghìn

Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50cm x 240cm, người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây):

* Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.

* Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm tôn bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng. Kí hiệu $V_1$ là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và $V_2$ là tổng thể tích của hai thùng gò được theo cách 2. Tính tỉ số $\sqrt{\frac{V_1}{V_2}}$

Chu kì bán rã của Cacbon ${}^{14}C$ là khoảng 5730 năm. Người ta tìm một mẫu đồ cổ một lượng Cacbon và xác định nó đã mất 25% lượng Cacbon ban đầu của nó. Hỏi mẫu đồ cổ đó có tuổi là bao nhiêu? (lấy gần đúng).

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, ,4 ,5 ,6 lập thành số tự nhiên chẵn có 5 chữ số phân biệt nhỏ hơn 25000. Tính số các số lập được

Tìm số nguyên dương n thỏa mãn các điều kiện sau

$\left\{\begin{array}{l}{C}_{n-1}^4-C_{n-1}^3<\frac{5}{4}{A}_{n-2}^2\\ C_{n+1}^{n-4}\ge \frac{7}{15}{A}_{n+1}^3\end{array}\right.$

(Ở đây $A_n^k;C_n^k$ lần lượt là số chỉnh hợp và số tổ hợp chập k của n phần tử).

Tính tổng phần thực và phần ảo của số phức

$$\begin{gathered} z=1+\left(1+i\right)+{\left(1+i\right)}^2 \\ +{\left(1+i\right)}^3+..+{\left(1+i\right)}^{20} \end{gathered}$$

Giả sử F(x) là một họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{\sin \left(x\right)}{x}$ trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$. Tính tích phân ${\int }_1^3\frac{\sin \left(2x\right)}{x}dx$

Tìm nghiệm x của phương trình

$$\begin{gathered} 2({\sin }^3\left(x\right)+{\sin }^2\left(x\right)-\sin \left(x\right)+1) \\ =3-2\sin \left(x\right)-{\cos }^2\left(x\right) \end{gathered}$$

thỏa mãn điều kiện $\left|\sin \left(x\right)\right|<\frac{1}{2}$

Xét hình chắn phía parabol $\left(P\right):y=x^2$, phía trên đường thẳng đi qua điểm A( 1;4 ) và hệ số góc k. Xác định k để hình phẳng trên có diện tích nhỏ nhất.