Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ và M, N là hai điểm lần lượt trên cạnh CA, CB sao cho MN song song với AB và $\frac{CM}{CA}=k$. Mặt phẳng $\left(MN{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)$ chia khối lăng trụ $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ thành hai phần có thể tích $V_1$ (phần chứa điểm C) và $V_2$ sao cho $\frac{V_1}{V_2}=2$. Khi đó giá trị của k là

Người ta xếp hai quả cầu có cùng bán kính r vào một chiếc hộp hình trụ sao cho các quả cầu đều tiếp xúc với hai đáy, đồng thời hai quả cầu tiếp xúc với nhau và mỗi quả cầu đều tiếp xúc với đường sinh của hình trụ (tham khảo hình vẽ). Biết thể tích khối trụ là 120 cm3, thể tích của mỗi khối cầu bằng

 Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu có tâm $I\left(2;-1;1\right)$ và tiếp xúc mặt phẳng $\left(Oyz\right)$ có phương trình là:

 Cho $d$ là đường thẳng đi qua điểm $A\left(1;2;3\right)$ và vuông góc với mặt phẳng $\left(\alpha \right):4x+3y-7z+1=0$. Phương trình chính tắc của $d$ là

Cho hai số phứ  $z_1=1+i$ và $z_2=2-3i$. Tính mô đun của số phức $z_1 + z_2$

Trong không gian $Oxyz,$ cho điểm $M\left(1;1;1\right)$. Mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua $M$ và cắt chiều dương của các trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại các điểm $A\left(a;0;0\right),B\left(0;b;0\right),C\left(0;0;c\right)$ thỏa mãn $OA=2OB$ và thể tích khối tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $S=2a+b+3c.$

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như hình bên.

Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt phẳng $\left(\alpha \right):x+2y+3z-6=0$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x+1}{-1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-3}{1}$. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=0$ và $x=\mathrm{3,}$ biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ $x(0\le x\le 3)$ là một hình chữ nhật có hai kích thước là $2\sqrt{9-x^2}.$

 Bất phương trình  nghiệm đúng với mọi   khi và chỉ khi

 Cho biểu thức $P=\sqrt[4]{x^5}$ với $x>0$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho $a$ là số thực dương tùy ý, $\ln \frac{e}{a^2}$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x+1}{1}=\frac{z-1}{-1}=\frac{y-3}{2}$. Một vectơ chỉ phương của $d$ là

Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left(ABC\right),SA=\sqrt{3}.$ Tam giác $ABC$ đều, cạnh $a.$ Góc giữa $SC$ và mặt phẳng $\left(ABC\right)$ bằng:

Cho không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left(0;1;2\right)$ và hai đường thẳng $d_1:\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=-1-2t\\ z=2+t\end{array}\right.$, $d_2:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{-1}$. Viết phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua $A$ và song song với hai đường thẳng $d_1,d_2$.