Một trang trại chăn nuôi dự định xây dựng một hầm biogas với thể tích 12 ${\mathrm{m}}^3$ để chứa chất thải chăn nuôi và tạo khí sinh học. Dự kiến hầm chứa có dạng hình hộp chữ nhật có chiều sâu gấp rưỡi chiều rộng. Hãy xác định các kích thước đáy (dài, rộng) của hầm biogas để thi công tiết kiệm nguyên vật liệu nhất (không tính đến bề dày của thành bể). Ta có kích thước (dài; rộng – tính theo đơn vị m, làm tròn đến 1 chữ số thập phân sau dấu phẩy) phù hợp yêu cầu là:

Cho hàm số $\mathrm{y}=\frac{{\mathrm{mx}}^2+6\mathrm{x}-2}{\mathrm{x}+2}$. Xác định m để hàm số có $\mathrm{y}\text{'}\le 0, \forall \mathrm{x}\in \left(1;+\infty \right)$.

Giá trị lớn nhất của hàm số $\mathrm{y}=\frac{2\mathrm{mx}+1}{\mathrm{m}-\mathrm{x}}$ trên $\left[2;3\right]$ là $-\frac{1}{3}$ khi m nhận giá trị bằng:

Cho đường cong ($\mathrm{r}$) được vẽ bởi nét liền trong hình vẽ:

Hỏi ($\mathrm{r}$) là dạng đồ thị của hàm số nào?

Trong nông nghiệp bèo hoa dâu được dùng làm phân bón, nó rất tốt cho cây trồng. Mới đây một nhóm các nhà khoa học Việt Nam đã phát hiện ra bèo hoa dâu có thể được dùng để chiết xuất ra chất có tác dụng kích thích hệ miễn dịch và hỗ trợ điều trị bệnh ung thư. Bèo hoa dâu được thả nuôi trên mặt nước. Một người đã thả một lượng bèo hoa dâu chiếm 4% diện tích mặt hồ. Biết rằng cứ sau đúng một tuần bèo phát triển thành 3 lần lượng đã có và tốc độ phát triển của bèo ở mọi thời điểm như nhau. Sau bao nhiêu ngày bèo sẽ vừa phủ kín mặt hồ?

Tìm tập giá trị của hàm số $\mathrm{y}=\frac{\sin 3x}{\cos \left(x-\mathrm{\pi }\right)}$

Một khối hộp chữ nhật ABCD.${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1$ có đáy ABCD là một hình vuông. Biết diện tích toàn phần của hình hộp đó là 32, thể tích lớn nhất mà khối hộp ABCD.${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1$ là bao nhiêu?

Cho $\cos 2\alpha =-\frac{4}{5}$ với $\frac{\mathrm{\pi }}{2}<\alpha <\mathrm{\pi }$. Tính giá trị của biểu thức: $\mathrm{P}=\left(1+\tan \mathrm{\alpha }\right)$$\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}-\mathrm{\alpha }\right)$.Đáp án đúng của P là:

Cho hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{{\mathrm{x}}^2}{2} \mathrm{khi} \mathrm{x}\le 1\\ \mathrm{ax}+\mathrm{b} \mathrm{khi} \mathrm{x}>1\end{array}\right.$. Với giá trị nào sau đây cảu a, b thì hàm số có đạo hàm tại $\mathrm{x}=1$

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 

$y=2{\sin }^2 x+3\sin 2x-4{\cos }^{2}x$

Cho hai số thực dương a, b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\mathrm{P}={\log }_3\left(1+2\mathrm{a}\right)+{\log }_3\left(1+\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}}\right)$$+ 2{\log }_3\left(1+\frac{4}{\sqrt{\mathrm{b}}}\right)$

Tìm giá trị của a để phương trình ${\left(2+\sqrt{3}\right)}^x+\left(1-a\right){\left(2-\sqrt{3}\right)}^x-4=0$ có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn: $x_1-x_2={\log }_{2+\sqrt{3}}\left(3\right)$, ta có a thuộc khoảng:

Một trường THPT có 15 học sinh là đoàn viên ưu tú, trong đó khối 12 có 3 nam và 3 nữ, khối 11 có 2 nam và 3 nữ, khối 10 có 2 nam và 2 nữ. Đoàn trường chọn ra 1 nhóm gồm 4 học sinh là đoàn viên ưu tú để tham gia lao động nghĩa trang liệt sĩ. Xác suất để nhóm được chọn có cả nam và nữ, đồng thời mỗi khối có 1 học sinh nam là:

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy và $\mathrm{SA}=\mathrm{a}\sqrt{3}$. Biết diện tích tam giác SAB là $\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$, khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) là

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau (với a, b, c, d

là các hằng số) 

(I): Giá trị cực đại của hàm số y = f(x) luôn lớn hơn

giá trị cực tiểu của nó.

(II): Hàm số $\mathrm{y}=a{\mathrm{x}}^4+\mathrm{bx}+c\left(a\ne 0\right)$ luôn có ít nhất một

cực trị.

(III): Giá trị cực đại của hàm số y = f(x) luôn lớn

hơn mọi giá trị của hàm số đó trên tập xác định.

(IV): Hàm số $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{ax}+\mathrm{b}}{\mathrm{cx}+\mathrm{d}}\left(\mathrm{c}\ne 0,\mathrm{ad}-\mathrm{bc}\ne 0\right)$ không có cực

trị.

Ta có số mệnh đề đúng là:

Biết rằng đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\left(3a^2-1\right){\mathrm{x}}^3-$$\left(b^3+1\right){\mathrm{x}}^2+3{\mathrm{c}}^2\mathrm{x}+4\mathrm{d}$ có hai điểm cực trị là $\left(1;-7\right)$,$\left(2;-8\right)$. Hãy xác định tổng $\mathrm{M}={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2+{\mathrm{d}}^2$