Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $△:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{-1}$. Hai điểm M, N lần lượt di động trên các mặt phẳng (α): x = 2; (β):z = 2 sao cho trung điểm K của MN luôn thuộc đường thẳng Δ. Giá trị nhỏ nhất của độ dài MN bằng

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn ${\int }_{-2}^{2}f\left(\sqrt{x^2+5}-x\right)dx=1,{\int }_1^5\frac{f\left(x\right)}{x^2}dx=3$. Tích phân ${\int }_1^{5}f\left(x\right)dx$ bằng

Có bao nhiêu số thực a∈(0;2π] sao cho ${\int }_0^1{\cos }^2\left(ax\right)dx=\frac{1}{2}+\frac{1}{4a}$.

Cho a là số thực dương khác 1. Tính $P={\log }_a\left(a^3.a^{\frac{1}{2}}\right)$.

Cho hàm số $f\left(x\right)=e^{\sqrt{x^2+1}}\left(e^x-e^{-x}\right)$. Có bao nhiêu số nguyên dương m thỏa mãn bất phương trình $f\left(m-7\right)+f\left(\frac{12}{m+1}\right)$.

Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z mà z 2 thuần ảo là

Khối lăng trụ có thể tích bằng V; diện tích mặt đáy bằng S, chiều cao khối lăng trụ bằng

Để cắt được 40 thanh sắt có chiều dài 2,5m và 60 thanh sắt có chiều dài 1,6m từ các thanh sắt có chiều dài 6m thì cần ít nhất bao nhiêu thanh sắt có chiều dài 6m?

Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{2}}\frac{x+2}{3-2x}\ge 0$?

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên của hàm số y=f'(x) như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left(-10;10\right)$ để hàm số $y=f\left(3x-1\right)+x^3-3mx$ đồng biến trên khoảng (-2;1)?

Khi bán kính khối cầu tăng thêm 3cm thì thể tích khối cầu tăng thêm 684πcm³. Bán kính khối cầu đã cho bằng

Đạo hàm cấp 5 của hàm số y=xlnx là

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{2m+1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z+1}{m-2},m\notin \left\{-\frac{1}{2},2\right\}$và mặt phẳng (P): x+ y+ z−6 = 0. Gọi Δ là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (P). Có bao nhiêu số thực m để Δ vuông góc với véctơ $\overrightarrow{a}\left(-1;0;1\right)$.

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây ?

Họ các nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x^3+\sin 3x$ là

Cho các số nguyên x và y thỏa mãn x + 6y, 5x + 2y, 8x + y theo thứ tự lập thành cấp số cộng; đồng thời $x+\frac{5}{3},y-1,2x-3y$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tìm x và y .