Cho tam giác OAB đều cạnh 2a. Trên đường thẳng d qua O và vuông góc với mặt phẳng (OAB) lấy điểm M sao cho OM=x. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên MB và OB. Gọi N là giao điểm của EF và d. Tìm x để thể tích tứ diện ABMN có giá trị nhỏ nhất

Trong không gian Oxyz cho hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ thoả mãn $\left|\overrightarrow{u}\right|=3;\left|\overrightarrow{v}\right|=4;\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right)=60°$. Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}$

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;4;-5), B(2;3;-6) và $C\left(4;4;-5\right)$. Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Trong không gian Oxyz cho ba điểm M(4;-1;3), $N(-5;11;8)$, $P(1;3;m)$. Tìm m để M, N, P thẳng hàng

Cho hình trụ có bán kính bằng 3a. Cắt hình trụ bởi mặt phẳng (P) song song với trục của hình trụ và cách trục của hình trụ một khoảng $a\sqrt{5}$, ta được một thiết diện là một hình vuông. Tính thể tích của khối trụ đã cho

Một hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính R=6cm, biết một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc theo đường kính của đường tròn mà hình chữ nhật đó nội tiếp. Tính diện tích lớn nhất của hình chữ nhật đó 

Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số trong tập S. Tính xác suất để số được chọn có đúng bốn chữ số lẻ và chữ số 0 có hai chữ số kề nó là chữ số lẻ

Trong không gian Oxyz cho điểm M(-4;2;-3). Tìm tọa độ N đối xứng với M qua trục Oy

Cho mặt cầu $S(O;4)$ cố định. Hình nón (N) gọi là nội tiếp mặt cầu $S(O;4)$ nếu hình nón (N) có đường tròn đáy và đỉnh thuộc mặt cầu $S(O;4)$. Tính bán kính đáy r của để khối nón (N) có thể tích lớn nhất  

Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).$SA=\sqrt{7},AB=3,BC=3.$  Bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-4;6;2). Gọi M,N,P lần lượt là hình chiếu của A trên các trục Ox, Oy và Oz. Tính diện tích của tam giác MNP.

Trong không gian Oxyz cho hai vectơ $\overrightarrow{u}=3\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}$ và $\overrightarrow{v}=5\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}$. Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}=3\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$

Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a, góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng ${45}^0$. Thể tích của khối nón đã cho là

Cho lăng trụ lục giác đều có canh đáy bằng 2a và khoảng cách giữa hai đáy của lăng trụ bằng 4a. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình $8^{f\left(x\right)-2}-{3.4}^{f\left(x\right)-2}+\left(m+3\right)2^{f\left(x\right)-1}-4-2m=0$ có nghiệm $x\in \left(-1;0\right).$

Tập xác định của hàm số $y=\sqrt{{\log }_{0,5}\left(3x-2\right)-1}$ là