Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình $9.3^{2x}-m(4\sqrt[4]{x^2+2x+1}+3m+3).3^x+1=0$ có đúng 3 nghiệm thực phân biệt

Chọn A

Ta có $9.3^{2x}-m(4\sqrt[4]{x^2+2x+1}+3m+3).3^x+1=0$

$\iff 3^{x+1}+\frac{1}{3^{x+1}}-\frac{m}{3}(4\sqrt{\left|x+1\right|}+3m+3)=0\left(1\right)$

Đặt t=x+1, phương trình (1) thành $3^t+\frac{1}{3^t}-\frac{m}{3}(4\sqrt{\left|t\right|}+3m+3)=0$(2).

Bài toán trở thành tìm số giá trị nguyên của m để phương trình (2) có đúng 3 nghiệm thực phân biệt.

Nhận xét: Nếu $t_0$ là một nghiệm của phương trình (2) thì -$t_0$ cũng là một nghiệm của phương trình (2). Do đó điều kiện cần để phương trình (2) có đúng 3 nghiệm thực phân biệt là phương trình (2) có nghiệm t=0.

Với t=0 thay vào phương trình (2) ta có $-m^2-m+2=$$\left[\begin{array}{l}m=1\\ m=-2\end{array}\right.$.

Thử lại:

+) Với m=-2 phương trình (2) thành $3^t+\frac{1}{3^t}+\frac{2}{3}(4\sqrt{\left|t\right|}-3)=0$

Ta có $3^t+\frac{1}{3^t}>0, \forall t\in \mathrm{ℝ}$ và $\frac{2}{3}(4\sqrt{\left|t\right|}-3)\ge 0, \forall t\in \mathrm{ℝ}$ suy ra  Dấu bằng xảy ra khi t=0, hay phương trình (2) có nghiệm duy nhất t=0 nên loại m=-2.

+) Với m=1 phương trình (2) thành $3^t+\frac{1}{3^t}-\frac{1}{3}(4\sqrt{\left|t\right|}+6)=0$(3)

Dễ thấy phương trình (3) có 3 nghiệm t=-1,t=0,t=1.

Ta chứng minh phương trình (3) chỉ có 3 nghiệm t=-1,t=0,t=1. Vì t là nghiệm thì -t cũng là nghiệm phương trình (3) nên ta chỉ xét phương trình (3) trên $[0;+\infty )$.

Trên tập $[0;+\infty )$, $\left(3\right)\iff 3^t+\frac{1}{3^t}-\frac{1}{3}(4\sqrt{t}+6)=0$.

Xét hàm $f\left(t\right)=3^t+\frac{1}{3^t}-\frac{1}{3}(4\sqrt{t}+6)=0$ trên $[0;+\infty )$.

Ta có $f\text{'}\left(t\right)=3^t\ln 3-3^{-t}.\ln 3-\frac{2}{3\sqrt{t}}$, $f\text{'}\text{'}\left(t\right)=3^t{\ln }^{2}3+3^{-t}.{\ln }^{2}3+\frac{1}{3.{\left(\sqrt{t}\right)}^3}>0; \forall t>0$.

Suy ra f'(t) đồng biến trên $(0;+\infty )\Rightarrow f\text{'}\left(t\right)=0$ có tối đa 1 nghiệm t>0$\Rightarrow f\left(t\right)=0$ có tối đa 2 nghiệm $t\in [0;+\infty )$. Suy ra trên $[0;+\infty )$, phương trình có 2 nghiệm t=0;t=1.

Do đó trên tập $\mathrm{ℝ}$, phương trình (3) có đúng 3 nghiệm t=-1;t=0;t=1. Vậy chọn m=1.

Chú ý: Đối với bài toán trắc nghiệm này, sau khi loại được m=-2 ta có thể kết luận đáp án C do đề không có phương án nào là không tồn tại m.