Trong không gian Oxyz cho điểm $M\left(1;1;1\right)$. Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt chiều dương của các trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại các điểm $A\left(a;0;0\right),B\left(0;b;0\right),C\left(0;0;c\right)$ thỏa mãn $OA=2OB$ và thể tích khối tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $S=2a+b+3c.$

Một lớp có 36 chiếc ghế đơn được xếp thành hình vuông $6\times 6.$ Giáo viên muốn xếp 36 học sinh của lớp, trong đó có em Kỷ và Hợi ngồi vào số ghế trên, mỗi học sinh ngồi một ghế. Xác suất để hai em Kỷ và Hợi ngồi cạnh nhau theo hàng dọc hoặc hàng ngang là

Tìm tập tất cả các giá trị của m để hàm số $y=x^3+\left(3m-1\right)x^2+m^{2}x-3$ đạt cực tiểu tại $x=-1.$

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm nào sau đây

Tìm số giá trị nguyên thuộc đoạn $\left[-2019;2019\right]$ của tham số m để đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{x-3}}{x^2+x-m}$ có đúng hai đường tiệm cận.

Cho hàm số bậc bốn $y=f\left(x\right)$ có đồ thị như hình dưới đây. Số nghiệm của phương trình $3f\left(x\right)+1=0$ là

Cho hai hàm số $f\left(x\right)$ và $g\left(x\right)$ có đạo hàm trên đoạn $\left[1;4\right]$ và thỏa mãn hệ thức $\left\{\begin{array}{l}f\left(1\right)+g\left(1\right)=4\\ g\left(x\right)=-x.f^{\text{'}}\left(x\right);f\left(x\right)=-x.g^{\text{'}}\left(x\right)\end{array}\right.$. Tính $I=\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]\text{d}x$.

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng diện tích các hình phẳng (A), (B) lần lượt bằng 3 và 7. Tích phân $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\cos x.f\left(5\sin x-1\right)dx$ bằng

Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=0$ và $x=3,$ biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ $x(0\le x\le 3)$ là một hình chữ nhật có hai kích thước là x và $2\sqrt{9-x^2}.$

Nguyên hàm của hàm số là: $y=\frac{1}{1-x}$

Người ta xếp hai quả cầu có cùng bán kính r vào một chiếc hộp hình trụ sao cho các quả cầu đều tiếp xúc với hai đáy, đồng thời hai quả cầu tiếp xúc với nhau và mỗi quả cầu đều tiếp xúc với đường sinh của hình trụ (tham khảo hình vẽ). Biết thể tích khối trụ là 120 cm³, thể tích của mỗi khối cầu bằng

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có đồ thị như hình dưới đây

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left(-5;5\right)$ để phương trình $f^2\left(x\right)-(m+4)\left|f\left(x\right)\right|+2m+4=0$ có  nghiệm phân biệt

Cho a là số thực dương tùy ý, $\ln \frac{e}{a^2}$ bằng

Diện tích xung quanh của hình nón có độ dài đường sinh l và bán kính r bằng

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2=25$ và mặt phẳng $\left(P\right):x+2y+2z-12=0$. Tính bán kính đường tròn giao tuyến của (S) và (P).

Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, AD=CD=a, AB=2a. Quay hình thang ABCD quanh cạnh AB, thể tích khối tròn xoay thu được là