Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có B'B=a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và $AC=a\sqrt{3}$. Tính  góc giữa C'A và mp (ABC)

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số y=f(x) nghịch biến trên khoảng nào, trong các khoảng dưới đây?

Với a là số thực dương tùy ý, ${\log }_2\frac{4}{a}$ bằng

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (x;y) với $y\le 2021$ thỏa mãn $\log \frac{x+1}{2y+1}\le 4y^4+4y^3-x^2{y}^2-2y^{2}x$.

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R và hàm số y=f'(x) có đồ thị như hình vẽ. Trên [-2;4], gọi $x_0$ là điểm mà tại đó hàm số $g\left(x\right)=f\left(\frac{x}{2}+1\right)-\ln \left(x^2+8x+16\right)$ đạt giá trị lớn nhất. Khi đó $x_0$ thuộc khoảng nào?

Tập nghiệm của bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{2}}x\le {\log }_{\frac{1}{2}}\left(2x-1\right)$ là

Cho hàm số bậc bốn y=f(x) có đồ thị (C) như hình vẽ bên. Biết hàm số y=f(x) đạt cực trị tại các điểm $x_1,x_2,x_3$ thỏa mãn $x_3=x_1+2$, $f\left(x_1\right)+f\left(x_3\right)+\frac{2}{3}f\left(x_2\right)=0$ và (C) nhận đường thẳng $d:x=x_2$ làm trục đối xứng. Gọi $S_1,S_2,S_3,S_4$ là diện tích của các miền hình phẳng được đánh dấu như hình bên. Tỉ số $\frac{S_1+S_2}{S_3+S_4}$ gần kết quả nào nhất

Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên R?

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SBC) bằng $30°$. Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng

Trong không gian Oxyz vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và điểm M(-3;5;7)?

Cho khối chóp S.ABC, có SA vuông góc với đáy, đáy là tam giác vuông tại B, SA=2a, AB=3a, BC=4a. Thể tích khối chóp đã cho bằng

Cho hàm số f(x)=sin4x. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Cho số phức z=5-3i. Môđun của số phức $\left(1-2i\right)\left(\overline{z}-1\right)$ bằng

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-2;1;1) và B(2;1;1). Xét khối nón (N) có đỉnh A đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính AB. Khi (N) có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng (P) chứa đường tròn đáy của (N) cách điểm E(1;1;1) một khoảng là bao nhiêu?

Một công ty sản xuất bồn đựng nước hình trụ có thể tích thực $1m^3$  với chiều cao bằng 1m. Biết bề mặt xung quanh bồn được sơn bởi loại sơn màu xanh tô như hình vẽ và màu trắng là phần còn lại của mặt xung quanh; với mỗi mét vuông bề mặt lượng sơn tiêu hao 0.5 lít sơn. Công ty cần sơn 10000 bồn thì dư kiến cần bao nhiêu lít sơn màu xanh gần với số nào nhất, biết khi đo được dây cung BF=1m

Nếu $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\left[\sin x-3f\left(x\right)\right]\text{d}x=6$ thì $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$ bằng