Trong khoảng $\left( {0\,\,;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)$phương trình $si{n^2}4x + 3sin4xcos4x - 4co{s^2}4x = 0\;$ có:

Trường hợp 1:$\cos 4x = 0 \Leftrightarrow 4x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{4}\,\,\left( {k \in Z} \right)$

Khi đó${\sin ^2}4x = 1$

Thay vào phương trình ta có:$1 + 3.0 - 4.0 = 0 \Leftrightarrow 1 = 0\,\,\left( {V\^o \,\,l\'y } \right)$

$\Rightarrow x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{4}\,\,\left( {k \in Z} \right)$ không là nghiệm của phương trình.

Trường hợp 2:$\cos 4x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{4}\,\,\left( {k \in Z} \right)$

Chia cả 2 vế của phương trình cho ${\cos ^2}4x$  ta được:

$\frac{{{{\sin }^2}4x}}{{{{\cos }^2}4x}} + 3\frac{{\sin 4x}}{{\cos 4x}} - 4 = 0 \Leftrightarrow {\tan ^2}4x + 3\tan 4x - 4 = 0$

Đặt tan4x=t. Khi đó phương trình trở thành

${t^2} + 3t - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = - 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{tan4x = 1}\\{tan4x = - 4}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x = \frac{\pi }{4} + k\pi }\\{4x = arctan( - 4) + k\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{{16}} + \frac{{k\pi }}{4}}\\{x = \frac{1}{4}arctan( - 4) + \frac{{k\pi }}{4}}\end{array}} \right.(k \in Z)$

Xét nghiệm$x = \frac{\pi }{{16}} + \frac{{k\pi }}{4}\,\,\left( {k \in Z} \right),\,x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < \frac{\pi }{{16}} + \frac{{k\pi }}{4} < \frac{\pi }{2}}\\{k \in Z}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < \frac{1}{{16}} + \frac{k}{4} < \frac{1}{2}}\\{k \in Z}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{1}{4} < k < \frac{7}{4}}\\{k \in Z}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{k = 0}\\{k = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{{16}}}\\{x = \frac{{5\pi }}{{16}}}\end{array}} \right.$

Xét nghiệm$x = \frac{1}{4}\arctan \left( { - 4} \right) + \frac{{k\pi }}{4}\,\,\left( {k \in Z} \right);\,\,x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < \frac{1}{4}arctan( - 4) + \frac{{k\pi }}{4} < \frac{\pi }{2}}\\{k \in Z}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{1}{4}arctan( - 4) < \frac{{k\pi }}{4} < \frac{\pi }{2} - \frac{1}{4}arctan( - 4)}\\{k \in Z}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0,42 < k < 2,42}\\{k \in Z}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{k = 1}\\{k = 2}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{4}arctan( - 4) + \frac{\pi }{4}}\\{x = \frac{1}{4}arctan( - 4) + \frac{\pi }{2}}\end{array}} \right.$

Vậy phương trình có 4 nghiệm thuộc khoảng$\left( {0\,\,;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)$

Đáp án cần chọn là: D