Số nghiệm của phương trình \[{\log _3}\left| {{x^2} - \sqrt 2 x} \right| = {\log _5}\left( {{x^2} - \sqrt 2 x + 2} \right)\] là
A.3
B.2
C.1
D.4
Giải bởi Vietjack
Đặt \[{x^2} - \sqrt 2 x = t\] khi đó\[{\log _3}|t| = {\log _5}(t + 2)(t > - 2;t \ne 0)\]
Đặt\[\;lo{g_3}|t| = lo{g_5}(t + 2) = a \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{|t| = {3^a}}\\{t + 2 = {5^a}}\end{array}} \right.\]
\[ \Rightarrow |{5^a} - 2| = {3^a} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{5^a} - 2 = - {3^a}}\\{{5^a} - 2 = {3^a}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{5^a} + {3^a} = 2\left( 1 \right)}\\{{5^a} = {3^a} + 2\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\]
Xét (1):\[f(a) = {5^a} + {3^a} \Rightarrow f'(a) = {5^a}\ln 5 + {3^a}\ln 3 > 0(\forall a \in R)\] nên hàm số đồng biến trên R
Mặt khác\[f(0) = 2\] do đó phương trình\[f(a) = f(0)\] có 1 nghiệm duy nhất\[a = 0 \Rightarrow t = - 1\]
Suy ra: \[{x^2} - \sqrt 2 x + 1 = 0\] (vô nghiệm)
Xét (2) \[ \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^a} + 2.{\left( {\frac{1}{5}} \right)^a} = 1\]
Đặt
\[g(a) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^a} + 2.{\left( {\frac{1}{5}} \right)^a} \Rightarrow g'(a) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^a}\ln \frac{3}{5} + 2.{\left( {\frac{1}{5}} \right)^a}\ln \frac{1}{5} < 0(\forall a \in R)\]
Nên hàm số g(a) nghịch biến trên R do đó phương trình g(a)=1 có tối đa 1 nghiệm.
Mà g(a)=g(1) nên a=1
Suy ra \[t = 3 \Rightarrow {x^2} - \sqrt 2 x - 3 = 0\] có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm.
Đáp án cần chọn là: B
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 200k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Giải phương trình \[{\log _3}\left( {x + 2} \right) + {\log _9}{\left( {x + 2} \right)^2} = \frac{5}{4}\]
Cho các số thực dương a,b,c khác 1 thỏa mãn
Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = lo{g_a}ab - lo{g_b}bc\]. Tính giá trị của biểu thức \[S = 2{m^2} + 9{M^2}\].
Cho phương trình \[{11^x} + m = {\log _{11}}\left( {x - m} \right)\]với mm là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \[m \in \left( { - 205;205} \right)\] để phương trình đã cho có nghiệm?
Giải phương trình \[{\log _2}\left( {{2^x} - 1} \right).{\log _4}\left( {{2^{x + 1}} - 2} \right) = 1\] Ta có nghiệm:
Giải phương trình \[{\log _3}\left( {2x - 1} \right) = 2\] , ta có nghiệm là:
Giải phương trình: \[\mathop \smallint \limits_0^2 \left( {t - {{\log }_2}x} \right)dt = 2{\log _2}\frac{2}{x}\] (ẩn x)
Tìm tập nghiệm S của phương trình \[lo{g_2}({x^2} - 4x + 3) = lo{g_2}(4x - 4)\]
Tìm tập nghiệm S của phương trình \[{\log _2}\left( {x - 1} \right) + {\log _2}\left( {x + 1} \right) = 3\].
Phương trình \[{\log _4}\left( {{{3.2}^x} - 1} \right) = x - 1\] có hai nghiệm là \[{x_1};{x_2}\;\] thì tổng \[{x_1} + {x_2}\;\] là:
Tập nghiệm của phương trình \[{\log _2}\left( {{x^2} - 1} \right) = {\log _2}2x\] là:
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình \[{\log _3}\left( {7 - {3^x}} \right) = 2 - x\] bằng:
Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn \[lo{g_2}\frac{{3x + 3y + 4}}{{{x^2} + {y^2}}} = (x + y - 1)(2x + 2y - 1) - 4\left( {xy + 1} \right)\] Giá trị lớn nhất của biểu thức \[P = \frac{{5x + 3y - 2}}{{2x + y + 1}}\;\] bằng:
Tìm m để phương trình \[mln(1 - x) - lnx = m\] có nghiệm \[x \in \left( {0;1} \right)\]
