Xét các số thực x,y thỏa mãn \[{2^{{x^2} + {y^2} + 1}} \le ({x^2} + {y^2} - 2x + 2){4^x}\]. Giá trị lớn nhất của biểu thức \[P = \frac{{8x + 4}}{{2x - y + 1}}\;\] là \[a + \sqrt a \].Tìm a
Giải bởi Vietjack
Bước 1: Chia cả 2 vế của bất phương trình cho\[{4^x}\] và đặt \[t = {x^2} + {y^2} - 2x + 1\]
Nhận xét:\[{x^2} + {y^2} - 2x + 2 = {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + 1 > 0\,\,\,\forall x,y\]
Bpt \[ \Leftrightarrow {2^{{x^2} + {y^2} - 2x + 1}} \le {x^2} + {y^2} - 2x + 2\]
Đặt\[t = {x^2} + {y^2} - 2x + 1\] bất phương trình trở thành\[{2^t} \le t + 1 \Leftrightarrow {2^t} - t - 1 \le 0\]
Bước 2: Xét hàm đặc trưng\[f\left( t \right) = {2^t} - t - 1\] và đánh giá t từ đó đánh giá\[{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2}\]
Xét hàm số\[f\left( t \right) = {2^t} - t - 1\] có\[f'\left( t \right) = {2^t}\ln 2 - 1 = 0 \Leftrightarrow t = {\log _2}\left( {{{\log }_2}e} \right).\]
BBT:
Suy ra ta có\[0 \le t \le 1 \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} \le 1\]
Bước 3: Biến đổi P và tìm min, max
Ta có:
\[P = \frac{{8x + 4}}{{2x - y + 1}} \Leftrightarrow 2Px - Py + P = 8x + 4\]
\[ \Leftrightarrow P - 4 = \left( {8 - 2P} \right)x + Py \Leftrightarrow 3P - 12 = \left( {8 - 2P} \right)\left( {x - 1} \right) + Py\]
\[ \Leftrightarrow {\left( {3P - 12} \right)^2} \le \left[ {{{\left( {8 - 2P} \right)}^2} + {P^2}} \right]\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2}} \right]\]
\[ \Rightarrow {\left( {3P - 12} \right)^2} \le {\left( {8 - 2P} \right)^2} + {P^2} \Leftrightarrow 4{P^2} - 40P + 80 \le 0\]
\[ \Leftrightarrow 5 - \sqrt 5 \le P \le 5 + \sqrt 5 \]
Bước 4: Xét dấu “=” xảy ra
Dấu “=” xảy ra
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{8 - 2P}}{P} = \frac{{x - 1}}{y} = - \frac{2}{{\sqrt 5 }}}\\{{{(x - 1)}^2} + {y^2} = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1 = - \frac{2}{{\sqrt 5 }}y}\\{\frac{9}{5}{y^2} = 1}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 \mp \frac{2}{3}}\\{y = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{3}}\end{array}} \right.\end{array}\)
\[ \Rightarrow \max P = 5 + \sqrt 5 \] đạt được khi\[x = \frac{1}{3};y = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\]
Vậy a=5
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Xét các số thực dương a và b thỏa mãn \[{\log _3}\left( {1 + ab} \right) = \frac{1}{2} + {\log _3}\left( {b - a} \right)\]. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = \frac{{\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)}}{{a\left( {a + b} \right)}}\] bằng:
Giải bất phương trình \[{\log _{\frac{1}{3}}}(x + {9^{500}}) > - 1000\]
Xét bất phương trình \[\log _2^22x - 2\left( {m + 1} \right){\log _2}x - 2 < 0\]. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng \[\left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right).\]
Tập nghiệm của bất phương trình \[\log \left( {{x^2} + 25} \right) > \log \left( {10x} \right)\] là:
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của y sao cho tương ứng với mọi y luôn tồn tại không quá 63 số nguyên x thỏa mãn điều kiện \[{\log _{2020}}\left( {x + {y^2}} \right) + {\log _{2021}}\left( {{y^2} + y + 64} \right) \ge {\log _4}\left( {x - y} \right)\]
Tập nghiệm của bất phương trình \[{9^{\log _9^2x}} + {x^{{{\log }_9}x}} \le 18\]là:
Cho \[m = {\log _a}\sqrt {ab} \] với a,b>1 và \[P = \log _a^2b + 54{\log _b}a\]. Khi đó giá trị của m để P đạt giá trị nhỏ nhất là:
Tập hợp nghiệm của bất phương trình \(\)\[{\log _{\frac{1}{3}}}\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) < {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 1} \right)\] là:
Cho hàm số y=f(x). Hàm số y=f′(x) có đồ thị như hình bên. Biết \[f\left( { - 1} \right) = 1,f( - \frac{1}{e}) = 2.\]. Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình \[f(x) < ln( - x) + m\;\] nghiệm đúng với mọi \[x \in ( - 1; - \frac{1}{e}).\]
Xác định tập nghiệm S của bất phương trình \[\ln {x^2} > \ln \left( {4x - 4} \right)\]
Bất phương trình \[{\log _{\frac{4}{{25}}}}(x + 1) \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x\] tương đương với bất phương trình nào dưới đây?
Số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn \[{\log _2}\left( {5x - 3} \right) > 5\] là:
Tập nghiệm của bất phương trình\[{\log _2}\left( {x\sqrt {{x^2} + 2} + 4 - {x^2}} \right) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2} \le 1\] là \(\left( { - \sqrt a ; - \sqrt b } \right)\).Khi đó abab bằng
Tập nghiệm của phương trình \[{\log _3}\left( {{{\log }_{\frac{1}{2}}}x} \right) < 1\] là
