Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;−2;4);B(−3;3;−1) và mặt phẳng (P):2x−y+2z−8=0. Xét điểm M là điểm thay đổi thuộc (P), giá trị nhỏ nhất của \[2M{A^2} + 3M{B^2}\;\]bằng:
A.135
B.105
C.108
D.145
Giải bởi Vietjack
Gọi I(a;b;c) là điểm thỏa mãn đẳng thức : \[2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} = \vec 0\]
\[ \Rightarrow 2(2 - a; - 2 - b;4 - c) + 3( - 3 - a;3 - b; - 1 - c) = \overrightarrow 0 \]
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4 - 2a - 9 - 3a = 0}\\{ - 4 - 2b + 9 - 3b = 0}\\{8 - 2c - 3 - 3c = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5a - 5 = 0}\\{ - 5b + 5 = 0}\\{ - 5c + 5 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = 1}\\{c = 1}\end{array}} \right. \Rightarrow I( - 1;1;1)\)
Ta có :
\[\begin{array}{*{20}{l}}{2M{A^2} + 3M{B^2} = 2{{\overrightarrow {MA} }^2} + 3{{\overrightarrow {MB} }^2}}\\{ = 2{{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)}^2} + 3{{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)}^2}}\\{ = 5M{I^2} + \left( {2I{A^2} + 3I{B^2}} \right) + \overrightarrow {MI} \left( {2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} } \right)}\\{ = 5M{I^2} + \left( {2I{A^2} + 3I{B^2}} \right)}\end{array}\]
Do I, A, B cố định nên\[2I{A^2} + 3I{B^2} = const\]
\[ \Rightarrow {\left( {2M{A^2} + 3M{B^2}} \right)_{\min }} \Leftrightarrow 5M{I^2}_{\min }\]⇔ M là hình chiếu của I trên (P)
Gọi \[\left( {\rm{\Delta }} \right)\]là đường thẳng đi qua I vuông góc với (P) , ta có phương trình của
\(\left( \Delta \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 + 2t}\\{y = 1 - t}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.\)
M là hình chiếu của I lên (P) \[ \Rightarrow M \in \left( {\rm{\Delta }} \right) \Rightarrow M\left( { - 1 + 2t;1 - t;1 + 2t} \right)\]
Lại có\[M \in \left( P \right)\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow 2\left( { - 1 + 2t} \right) - \left( {1 - t} \right) + 2\left( {1 + 2t} \right) - 8 = 0}\\{ \Leftrightarrow - 2 + 4t - 1 + t + 2 + 4t - 8 = 0}\\{ \Leftrightarrow 9t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow M\left( {1;0;3} \right)}\end{array}\]
Khi đó ta có
\[\begin{array}{*{20}{l}}{M{I^2} = 4 + 1 + 4 = 9;\;\;\;I{A^2} = 9 + 9 + 9 = 27;\;\;\;I{B^2} = 4 + 4 + 4 = 13}\\{ \Rightarrow {{\left( {2M{A^2} + 3M{B^2}} \right)}_{\min }} = 5.9 + 2.27 + 3.12 = 135}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: A
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Trong không gian Oxyz, gọi M′ là điểm đối xứng của điểm M(2;0;1) qua đường thẳng \[\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}\]. Tính khoảng cách từ điểm M′ đến mặt phẳng (Oxy).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x−2y−z+7=0 và điểm A(1;1;−2). Điểm H(a;b;c) là hình chiếu vuông góc của A trên (P). Tổng a+b+c bằng:
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(−1;3;2) và mặt phẳng (P):x−2y+4z+1=0. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P) có phương trình là
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x+2y−3z+4=0 và đường thẳng\[d:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}.\]Đường thẳng Δ nằm trong (P) đồng thời cắt và vuông góc với d có phương trình:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4;−3;5) và B(2;−5;1).Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng \[\left( d \right):\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 5}}{{ - 2}} = \frac{{z + 9}}{{13}}\].
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điểm A′(a;b;c) đối xứng với điểm A(−1;0;3) qua mặt phẳng (P):x+3y−2z−7=0. Tìm a+b+c
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1;1;2),B(0;−1;1) và song song với đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\;\] là:
Cho \[d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 3}}{m} = \frac{{z - 1}}{{m - 2}};\,\,\,(P):x + 3y + 2z - 5 = 0\]. Tìm m để d và (P) vuông góc với nhau.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1;2;1),B(−2;1;3),C(2;−1;1),D(0;3;1). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A,B sao cho C,D cùng phía so với (P) và khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P) là:
Cho đường thẳng d có phương trình \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t}\\{y = 1 - t}\\{z = 3 + t}\end{array}} \right.\) và mặt phẳng (P) có phương trình \[(P):x + y + z - 10 = 0\]. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Cho đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{z}{3}\] và mặt phẳng \[\left( P \right):x + y - z - 3 = 0\]. Tọa độ giao điểm của d và (P) là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d là đường thẳng đi qua điểm A(1;2;3) và vuông góc với mặt phẳng \[(\alpha ):4x + 3y - 7z + 1 = 0\]. Phương trình tham số của d là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho cho mặt phẳng (P):x−2y+3z−1=0 và đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{1}\]. Khẳng định nào sau đây đúng:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - 2t}\\{y = 0}\\{z = t}\end{array}} \right.\). Gọi d′ là đường thẳng đối xứng với d qua mặt phẳng (Oxy). Biết phương trình đó có dạng: \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = a + bt}\\{y = c}\\{z = t}\end{array}} \right.\)
Tính a+b+c.
Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng \[\left( P \right):2x + y - z - 3 = 0\;\] và \[\left( Q \right):x + y + z - 1 = 0\]. Phương trình chính tắc đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) là:
