Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{1}$ và $d':\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{1}$. Mặt phẳng $\left( P \right):ax + by + cz + 2 = 0$ chứa d và tạo với $d'$ một góc lớn nhất. Tính a + b + c.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Côsin của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng

Cho hàm số $f\left( x \right)$ có $f\left( 3 \right) = - \frac{{25}}{3}$ và $f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {x + 1} - 1}}$. Khi đó $\int\limits_3^8 {f\left( x \right)dx}$ bằng

Với a là số thực dương tùy ý, $\ln \left( {8a} \right) - \ln \left( {3a} \right)$ bằng

Tìm tập xác định D của hàm số $y = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 6x + 8} \right)$.

Trong không gian Oxyz, cho điểm $A\left( {1; - 1;3} \right)$ và hai đường thẳng ${d_1}:\frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y + 2}}{4} = \frac{{z - 1}}{{ - 2}}$, ${d_2}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{1}$. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng ${d_1}$ và cắt đường thẳng ${d_2}$.

Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 1 và chiều cao bằng 2. Kí hiệu $\left( H \right)$ là khối đa điện có các đỉnh là trung điểm tất cả các cạnh của hình chóp đã cho. Tính thể tích của $\left( H \right)$.

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A\left( {2;0;0} \right),{\rm{ }}B\left( {0;4;0} \right),{\rm{ }}C\left( {0;0;6} \right)$. Điểm M thay đổi trên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và N là điểm trên tia $OM.ON = 12$. Biết rằng khi M thay đổi, điểm N luôn thuộc một mặt cầu cố định. Tính bán kính của mặt cầu đó.

Cho số phức z thỏa mãn $\left| {z - 1 - i} \right| = 2$. Biết rằng giá trị nhỏ nhất của ${\left| {z + 3 + i} \right|^2} + {\left| {z - 3 + 3i} \right|^2}$ có dạng $a + b\sqrt {10}$ với $a,b \in \mathbb{Z}$. Tính $a + b$.

Cho phương trình ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {m - 4x} \right) + 2{\log _2}\left( {x + 2} \right) = 0$. Giá trị của m để phương trình có nghiệm trên đoạn $\left[ {2;5} \right]$ là

Cho hàm số $f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {5^x}$ là

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, cạnh $AC = 3,{\rm{ }}BC = 4$. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ bằng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{3}$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của $d$?

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều. Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy và $AB = a,{\rm{ }}SB = a\sqrt 2$. Thể tích của khối chóp S.ABC bằng

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):y - 2z + 1 = 0$ và đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{z}{1}$. Mặt phẳng $\left( Q \right):ax + by + cz - 7 = 0$ đi qua điểm $A\left( {2;3; - 1} \right)$, đồng thời vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ và song song với đường thẳng d. Tính $a + b + c$.