Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với góc ${60^0}.$ Gọi M là trung điểm của SC. Mặt phẳng qua AM và song song với BD, cắt $SB,SD$ lần lượt tại E và F và chia khối chóp thành hai phần. Tính thể tích V của khối chóp không chứa đỉnh S.

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x + 2y - z + 9 = 0$ và điểm $A\left( {1;2; - 3} \right).$ Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương $\vec u = \left( {3;4; - 4} \right)$ cắt (P) tại B. Điểm M thay đổi trên (P) sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới một góc ${90^0}$. Độ dài đoạn MB lớn nhất bằng

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ là hàm số bậc ba có bảng biến thiên như hình vẽ

Số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{2x + 7 - 3\sqrt {4x + 5} }}{{\left| {f\left( x \right)} \right| - 2}}$ là

Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc ${v_0} = 15{\mkern 1mu} m/s$ thì tăng tốc với gia tốc $a\left( t \right) = {t^2} + 4t{\mkern 1mu} \left( {m/{s^2}} \right).$ Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc.

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng xét dấu của đạo hàm như sau.

Hàm số $y = f\left( {x - 1} \right) + {x^3} - 12x + 2019$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho tam giác ABC, với $A\left( {1;2;1} \right),B\left( { - 3;0;3} \right),C\left( {2;4; - 1} \right).$  Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng a. Diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương đó là:

Cho số phức z thỏa mãn $(2 + 3i)z + 4 - 3i = 13 + 4i$. Môđun của z bằng

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S):{(x + 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + \sqrt 2 )^2} = 9$ và hai điểm $A( - 2;0; - 2\sqrt 2 ),B( - 4; - 4;0)$. Biết rằng tập hợp các điểm M thuộc $(S)$ sao cho $M{A^2} + \overrightarrow {MO} .\overrightarrow {MB} = 16$ là một đường tròn. Bán kính của đường tròn đó bằng

Cho tích phân $I = \int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx} = 32.$ Tính tích phân $J = \int\limits_0^2 {f\left( {2x} \right)dx}$.

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh $A'B'$ và BC. Mặt phẳng (DMN) chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Gọi (H) là khối đa diện chứa đỉnhA và $(H')$ là khối đa diện còn lại. Tính tỉ số $\frac{{{V_{(H)}}}}{{{V_{(H')}}}}.$

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $y = {x^2} - {3^x} + \frac{1}{x}.$

Trong không gian Oxyz, cho $A\left( {1;3;5} \right)$, $B\left( { - 5; - 3; - 1} \right)$. Phương trình mặt cầu đường kính AB là:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số bậc ba $y = f\left( x \right)$ và các trục tọa độ là $S = 32$ (hình vẽ bên). Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng trên quanh trục $Ox.$

Với các số thực $a,b > 0,a \ne 1$  tùy ý, biểu thức ${\log _{{a^2}}}\left( {a{b^2}} \right)$ bằng: