Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):x + y - z - 3 = 0$ và hai điểm $A\left( {1;1;1} \right)$, $B\left( { - 3; - 3; - 3} \right)$. Mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua hai điểm $A,{\rm{ }}B$ và tiếp xúc với (P) tại điểm C. Biết rằng C luôn thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính R của đường tròn đó

Cho hàm số $y = \frac{{mx + 7m - 8}}{{x - m}}$, với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định?

Biết rằng $\int\limits_2^4 {\frac{{{x^3} + 2}}{{{x^2} + x}}dx} = a + b\ln 2 + c\ln 3 + d\ln 5,$ với $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c,{\rm{ }}d \in \mathbb{Z}.$ Tính giá trị của biểu thức $S = a + b + c + d.$

Tìm giá trị nhỏ nhất ${y_{\min }}$ của hàm số $y = {x^4} - 4{x^3} + 8x.$

Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left( {1 + i} \right)z + \bar z$ là số thuần ảo và $\left| {z - 2i} \right| = 1$?

Một hộp đựng 40 tấm thẻ được đánh số thứ tự từ 1 đến 40. Rút ngẫu nhiên 10 tấm thẻ. Tính xác suất để lấy được 5 tấm thẻ mang số lẻ và 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó có đúng một thẻ mang số chia hết cho 6.

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 1\\z = 3 + 2t\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right).$ Đường thẳng d đi qua điểm có tọa độ nào dưới đây?

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {e^{4x + 3}}$ là

Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ bằng

Cho $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 2$ và $\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = - 3.$ Tích phân $\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}$ bằng

Tìm tập xác định D của hàm số $y = {\left( {{x^2} - 6x + 8} \right)^{\frac{1}{{2020}}}}.$

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ ?

Cho ba số phức ${z_1},{\rm{ }}{z_2},{\rm{ }}{z_3}$ thỏa mãn $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = 1$; $\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}$ và $z_1^2 = {z_2}{z_3}.$ Tính giá trị của $\left| {{z_2} - {z_3}} \right| - \left| {{z_3} - {z_1}} \right|$.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = 4 + 2t\\z = 2 + t\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right).$ Xét đường thẳng $\Delta :\frac{{x - 2}}{6} = \frac{{y - 1}}{4} = \frac{{z + 3}}{m},$ với m là tham số thực khác 0. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đường thẳng $\Delta$ song song với đường thẳng $d.$

Trong không gian, cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ $AB = 1$, đáy lớn $CD = 3$ và cạnh bên $AD = \sqrt 2 .$ Tính thể tích V của khối tròn xoay, nhận được khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh trục $AB.$

Điểm nào trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức $z = - 1 - 2i$?