Có một mảnh bìa hình chữ nhật ABCD với $AB=4a,AD=2a$ . Người ta đánh dấu M là trung điểm của AB, N và P là các điểm thuộc CD sao cho $DN=CP=a$ . Sau đó người ta cuốn mảnh bìa lại sao cho cạnh BC trùng với cạnh AD tạo thành một hình trụ. Thể tích của tứ diện AMNP với các đỉnh A, M, N, P nằm trên hình trụ vừa tạo thành

bằng:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau:

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 lập các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau. Lấy ngẫu nhiên một số vừa lập. Xác suất để lấy được số chia hết cho 1111 là:

Giá trị lớn nhất M của hàm số $y=f\left(x\right)=x^5-5x^3-20x+2$  trên đoạn [-1;3] là:

Cho hàm số $f\left(x\right)=x^3-3x^2+x+\frac{3}{2}$ . Phương trình$\frac{f\left(f\left(x\right)\right)}{2f\left(x\right)-1}=1$  có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

Hàm số $y={\log }_7\left(3x+1\right)$  có tập xác định là:

Có 12 bạn học sinh trong đó có đúng một bạn tên A và đúng một bạn tên B. Xếp ngẫu nhiên 12 học sinh vào một bàn tròn và một bàn dài mỗi bàn 6 học sinh. Xác suất để hai bạn A và B ngồi cùng bàn và cạnh nhau bằng:

Cho hàm số $g\left(x\right)=\underset{\sqrt{x}}{\overset{x^2}{\int }}\sqrt{t}\sin tdt$  xác định với mọi x>0. Tính g'(x) được kết quả:

Cho các hàm số $y=x^3$  và $y=x^{\frac{1}{3}}$  cùng xét trên có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi các điểm A và B lần lượt nằm trên các đồ thị đó sao cho AOB là tam giác đều. Biết rằng tồn tại hai tam giác như vậy với diện tích lần lượt là $S_1$  và $S_2$  trong đó $S_1<S_2$  . Tỷ số $\frac{S_2}{S_1}$  bằng:

Cho hàm số $y=x^3+a{x}^2+bx+c$ . Giả sử A, B là các điểm cực trị của đồ thị hàm số. Biết rằng AB đi qua gốc tọa độ. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức$P=abc+ab+c$  là:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng diện tích các hình phẳng (A),(B) lần lượt bằng 3 và 7. Tích phân $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\cos x.f\left(5\sin x-1\right)dx$  bằng:

Cho F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [0;1], biết $F\left(1\right)=2$  và $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(x+1\right)F\left(x\right)dx=1$ . Giá trị tích phân $S=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{\left(x+1\right)}^{2}f\left(x\right)dx$  là:

Trong không gian Oxyz, cho điểm $A\left(2;2;2\right)$  và mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+{\left(z-1\right)}^2=4$ . Từ điểm A kẻ 3 tiếp tuyến AB, AC, AD với mặt cầu (S), trong đó B, C, D là các tiếp điểm. Phương trình mặt phẳng (BCD) là:

Cho mặt cầu $S\left(O;r\right)$  và một điểm A với $OA>R$  . Từ A dựng các tiếp tuyến với mặt cầu $S\left(O;r\right)$ , gọi M là tiếp điểm bất kì. Tập hợp các điểm M là:

Gọi V là thể tích của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’,  là thể tích tứ diện A’ABD. Hệ thức nào sau đây đúng?