Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có thể tích 216$c{m}^3$  và diện tích của tam giác ABC' bằng $24\sqrt{3}c{m}^2$ . Tính sin góc giữa AB và mặt phẳng (A'BC).

Cho hình chóp đều S.ABCD có thể tích bằng 1/3, đáy ABCD là hình vuông cạnh là 1. Phương trình mặt phẳng (ABCD) biết S(0;0;0) và $AB:\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=t\\ z=1\end{array}\right.$  là

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-2\right)}^2=9$ và hai điểm $M\left(4;-4;2\right),N\left(6;0;6\right)$ . Gọi E là điểm thuộc mặt cầu(S)  sao cho EM+EN đạt giá trị lớn nhất. Phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại E là

Miền phẳng trong hình vẽ giới hạn bởi y=f(x) và parabol $y=x^2-2\text{x}$ . Biết $\underset{-\frac{1}{2}}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)d\text{x}=\frac{3}{4}$ . Khi đó diện tích hình phẳng được tô trong hình vẽ bằng

Cho hàm số y=f(x) liên tục, có đạo hàm trên [-5;3] và có bảng biến thiên sau.

Hàm số $y={\log }_7\left(3x+1\right)$  có tập xác định là:

Cho đồ thị $\left(C\right):y=f\left(x\right)=\sqrt{x}$ . Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), đường thẳng x=9 và trục Ox. Cho điểm M thuộc đồ thị (C) và điểm A(9;0). Gọi $V_1$  là thể tích khối tròn xoay khi cho (H) quay quanh trục Ox, $V_2$  là thể tích khối tròn xoay khi cho tam giác AOM quay quanh trục Ox. Biết rằng $V_1=2V_2$ . Tính diện tích S phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và đường thẳng OM.

Trong A, B lần lượt là diểm biểu diễn các số phức . Trọng tâm G của tam giác OAB là điểm biểu diễn số phức như trong hình vẽ. Giá trị ${\left|z_1\right|}^2+{\left|z_2\right|}^2+{\left|z_3\right|}^2$  bằng:

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$  có bảng biến thiên như sau:

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn $\frac{4{\text{x}}^2+3}{\sqrt{2y+1}}=\frac{y+2}{x}$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức  là

Thể tích của khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh bằng $2\pi a^2$  là: