Tập nghiệm của bất phương trình ${\log _{\frac{1}{2}}}x \le {\log _{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}}\left( {2x - 1} \right)$ là:

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho 15 và mỗi chữ số đều không vượt quá 5.

Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình $\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| = 2m - 1$ có đúng 6 nghiệm thực phân biệt.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số $y = \frac{{mx + 4}}{{x + m}}$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1} \right)?$

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho đường thẳng $\Delta :{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{2}$ và hai mặt phẳng $\left( P \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x - 2y + 3z = 0,\left( Q \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x - 2y + 3z + 4 = 0.$ Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng $\Delta$ và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right).$

Phương trình ${z^4} = 16$ có bao nhiêu nghiệm phức?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a\sqrt 2 .$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy bằng ${45^0}.$ Gọi E là trung điểm của $BC.$ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $DE$ và $SC.$

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a\sqrt 3$, $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ và $SA = a\sqrt 2$. Tính góc giữa SC và $\left( {ABCD} \right)$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho hai đường thẳng ${d_1}:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{x}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}$ và ${d_2}:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}.$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng này bằng:

Cho hàm số $y = {x^3} - m{x^2} - {m^2}x + 8.$ Có bao nhiêu giá trị m nguyên để hàm số có điểm cực tiểu nằm hoàn toàn phía bên trên trục hoành?

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số $y = \frac{8}{3}{x^3} + 2\ln x - mx$ đồng biến trên $\left( {0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1} \right)?$

Số nghiệm nguyên thuộc đoạn $\left[ { - 99;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 100} \right]$ của bất phương trình ${\left( {\sin \frac{\pi }{5}} \right)^x} \ge {\left( {\cos \frac{{3\pi }}{{10}}} \right)^{\frac{4}{x}}}$ là:

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ thỏa mãn $2\left( {{u_3} + {u_4} + {u_5}} \right) = {u_6} + {u_7} + {u_8}$. Tính $\frac{{{u_8} + {u_9} + {u_{10}}}}{{{u_2} + {u_3} + {u_4}}}$.

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số $y = {x^2} + 8\ln 2x - mx$ đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$?

Biết rằng $\int\limits_1^2 {\frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} + x}}dx = a + b\ln 3 + c\ln 2}$ với $a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c$ là các số hữu tỉ. Tính $2a + 3b - 4c.$

Cho $a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b$ là các số thực dương thỏa mãn ${\log _{\sqrt {ab} }}\left( {a{\mkern 1mu} \sqrt[3]{b}} \right) = 3.$ Tính ${\log _{\sqrt {ab} }}\left( {b{\mkern 1mu} \sqrt[3]{a}} \right).$