Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz,\] cho đường thẳng \[\Delta :{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{{ - 2}}\] và mặt phẳng \[\left( P \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 2x - y + 2z - 3 = 0.\] Gọi α là góc giữa đường thẳng Δ và mặt phẳng (P). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.\[\cos \alpha = - \frac{4}{9}\]
B.\[\sin \alpha = \frac{4}{9}\]
C.\[\cos \alpha = \frac{4}{9}\]
D.\[\sin \alpha = - \frac{4}{9}\]
Giải bởi Vietjack
Phương pháp giải:
Gọi \[\alpha \] là góc giữa \[\left( P \right)\] và \[\Delta \], khi đó ta có \[\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{u_d}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|}}\], với \[\overrightarrow {{n_p}} \] và \[\overrightarrow {{u_d}} \] lần lượt là 1 vtpt của \[\left( P \right)\] và vtcp của Δ.
Giải chi tiết:
Mặt phẳng \[\left( P \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 2x - y + 2z - 3 = 0\] có 1 vtpt là \[\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1;2} \right)\], đường thẳng \[\Delta :\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{{ - 2}}\] có 1 vtcp là \[\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;2; - 2} \right)\].
Ta có: \[\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{u_d}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 - 1.2 + 2.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{4}{9}\].
\[ \Rightarrow \cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \frac{{\sqrt {65} }}{9}\].
Đáp án B
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình \[\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| = 2m - 1\] có đúng 6 nghiệm thực phân biệt.
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho 15 và mỗi chữ số đều không vượt quá 5.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số \[y = \frac{{mx + 4}}{{x + m}}\] nghịch biến trên khoảng \[\left( { - 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1} \right)?\]
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz,\] cho đường thẳng \[\Delta :{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{2}\] và hai mặt phẳng \[\left( P \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x - 2y + 3z = 0,\left( Q \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x - 2y + 3z + 4 = 0.\] Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng \[\Delta \] và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng \[\left( P \right)\] và \[\left( Q \right).\]
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a\sqrt 2 .\] Cạnh bên \[SA\] vuông góc với đáy. Góc giữa \[SC\] và mặt phẳng đáy bằng \[{45^0}.\] Gọi E là trung điểm của \[BC.\] Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \[DE\] và \[SC.\]
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz,\] cho hai đường thẳng \[{d_1}:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{x}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}\] và \[{d_2}:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}.\] Khoảng cách giữa hai đường thẳng này bằng:
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình vuông cạnh \[a\sqrt 3 \], \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\] và \[SA = a\sqrt 2 \]. Tính góc giữa SC và \[\left( {ABCD} \right)\].
Cho hàm số \[y = {x^3} - m{x^2} - {m^2}x + 8.\] Có bao nhiêu giá trị m nguyên để hàm số có điểm cực tiểu nằm hoàn toàn phía bên trên trục hoành?
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số \[y = \frac{8}{3}{x^3} + 2\ln x - mx\] đồng biến trên \[\left( {0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1} \right)?\]
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số \[y = {x^2} + 8\ln 2x - mx\] đồng biến trên \[\left( {0; + \infty } \right)\]?
Cho cấp số nhân \[\left( {{u_n}} \right)\] thỏa mãn \[2\left( {{u_3} + {u_4} + {u_5}} \right) = {u_6} + {u_7} + {u_8}\]. Tính \[\frac{{{u_8} + {u_9} + {u_{10}}}}{{{u_2} + {u_3} + {u_4}}}\].
Số nghiệm nguyên thuộc đoạn \[\left[ { - 99;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 100} \right]\] của bất phương trình \[{\left( {\sin \frac{\pi }{5}} \right)^x} \ge {\left( {\cos \frac{{3\pi }}{{10}}} \right)^{\frac{4}{x}}}\] là:
Biết rằng \[\int\limits_1^2 {\frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} + x}}dx = a + b\ln 3 + c\ln 2} \] với \[a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c\] là các số hữu tỉ. Tính \[2a + 3b - 4c.\]
