Cho \[a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b\] là các số thực dương thỏa mãn \[{2^{a + b + 2ab - 3}} = \frac{{1 - ab}}{{a + b}}\]. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[{a^2} + {b^2}\] là:
A.\[3 - \sqrt 5 \]
B.\[{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)^2}\]
C.\[\frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}\]
D.2
Giải bởi Vietjack
Phương pháp giải:
- Sử dụng phương pháp logarit cơ số 2 cả hai vế của phương trình, sau đó xét hàm đặc trưng.
- Rút a theo b, từ điều kiện của a suy ra điều kiện chặt chẽ hơn của b.
- Biến đổi \[P = {a^2} + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2} - 2ab\], đặt ẩn phụ \[t = 2ab\], lập BBT tìm miền giá trị của t.
- Sử dụng phương pháp hàm số tìm GTNN của biểu thức P.
Giải chi tiết:
Theo bài ra ta có:
\[{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {2^{a + b + 2ab - 3}} = \frac{{1 - ab}}{{a + b}}\]
\[ \Leftrightarrow a + b + 2ab - 2 = {\log _2}\left( {2 - 2ab} \right) - {\log _2}\left( {a + b} \right)\]
\[ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {a + b} \right) + a + b = {\log _2}\left( {2 - 2ab} \right) + 2 - 2ab{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)\]
Xét hàm số \[y = {\log _2}t + t{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {t >0} \right)\] ta có \[y' = \frac{1}{{t\ln 2}} + 1 >0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall t >0\], do đó hàm số đồng biến trên \[\left( {0; + \infty } \right)\].
Khi đó \[\left( * \right) \Leftrightarrow a + b = 2 - 2ab \Leftrightarrow a\left( {1 + 2b} \right) = 2 - b \Leftrightarrow a = \frac{{2 - b}}{{1 + 2b}}\].
Vì \[a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b >0 \Rightarrow \frac{{2 - b}}{{1 + 2b}} >0 \Leftrightarrow 2 - b >0 \Leftrightarrow b < 2\].
Khi đó ta có \[P = {a^2} + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2} - 2ab = {\left( {2 - 2ab} \right)^2} - 2ab\].
Đặt \[t = 2ab = 2\frac{{2 - b}}{{1 + 2b}}.b{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {0 < b < 2} \right)\] ta có \[t = 2.\frac{{2b - {b^2}}}{{1 + 2b}}\]
\[ \Rightarrow t' = 2.\frac{{\left( {2 - 2b} \right)\left( {1 + 2b} \right) - \left( {2b - {b^2}} \right).2}}{{{{\left( {1 + 2b} \right)}^2}}}\]
\[{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = 2.\frac{{2 + 4b - 2b - 4{b^2} - 4b + 2{b^2}}}{{{{\left( {1 + 2b} \right)}^2}}}\]\[ = \frac{{4 - 4b - 4{b^2}}}{{{{\left( {1 + 2b} \right)}^2}}}\]
\[t' = 0 \Leftrightarrow b = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\]
BBT:
![(VDC): Cho \[a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b\] là các số thực dương thỏa mãn \[{2^{a + b + 2ab - 3}} = \frac{{1 - ab}}{{a + b}}\]. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[{a^2} + {b^2}\] là: (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1649578518/1649578694-image15.png)
\[ \Rightarrow t \in \left( {0;3 - \sqrt 5 } \right]\].
Khi đó ta có \[P = {\left( {2 - t} \right)^2} - t = {t^2} - 5t + 4,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} t \in \left( {0;3 - \sqrt 5 } \right]\].
Ta có \[P' = 2t - 5 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{5}{2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {ktm} \right)\], do đó \[{P_{\min }} = P\left( {3 - \sqrt 5 } \right) = 3 - \sqrt 5 \].
Đáp án C
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình \[\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| = 2m - 1\] có đúng 6 nghiệm thực phân biệt.
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho 15 và mỗi chữ số đều không vượt quá 5.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số \[y = \frac{{mx + 4}}{{x + m}}\] nghịch biến trên khoảng \[\left( { - 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1} \right)?\]
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz,\] cho đường thẳng \[\Delta :{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{2}\] và hai mặt phẳng \[\left( P \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x - 2y + 3z = 0,\left( Q \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x - 2y + 3z + 4 = 0.\] Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng \[\Delta \] và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng \[\left( P \right)\] và \[\left( Q \right).\]
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a\sqrt 2 .\] Cạnh bên \[SA\] vuông góc với đáy. Góc giữa \[SC\] và mặt phẳng đáy bằng \[{45^0}.\] Gọi E là trung điểm của \[BC.\] Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \[DE\] và \[SC.\]
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz,\] cho hai đường thẳng \[{d_1}:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{x}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}\] và \[{d_2}:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}.\] Khoảng cách giữa hai đường thẳng này bằng:
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình vuông cạnh \[a\sqrt 3 \], \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\] và \[SA = a\sqrt 2 \]. Tính góc giữa SC và \[\left( {ABCD} \right)\].
Cho hàm số \[y = {x^3} - m{x^2} - {m^2}x + 8.\] Có bao nhiêu giá trị m nguyên để hàm số có điểm cực tiểu nằm hoàn toàn phía bên trên trục hoành?
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số \[y = \frac{8}{3}{x^3} + 2\ln x - mx\] đồng biến trên \[\left( {0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1} \right)?\]
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số \[y = {x^2} + 8\ln 2x - mx\] đồng biến trên \[\left( {0; + \infty } \right)\]?
Số nghiệm nguyên thuộc đoạn \[\left[ { - 99;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 100} \right]\] của bất phương trình \[{\left( {\sin \frac{\pi }{5}} \right)^x} \ge {\left( {\cos \frac{{3\pi }}{{10}}} \right)^{\frac{4}{x}}}\] là:
Cho cấp số nhân \[\left( {{u_n}} \right)\] thỏa mãn \[2\left( {{u_3} + {u_4} + {u_5}} \right) = {u_6} + {u_7} + {u_8}\]. Tính \[\frac{{{u_8} + {u_9} + {u_{10}}}}{{{u_2} + {u_3} + {u_4}}}\].
Biết rằng \[\int\limits_1^2 {\frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} + x}}dx = a + b\ln 3 + c\ln 2} \] với \[a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c\] là các số hữu tỉ. Tính \[2a + 3b - 4c.\]
