Cho hình chóp \[S.ABC\] có \[AB = 3a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BC = 4a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} CA = 5a\], các mặt bên tạo với đáy góc \[{60^0}\], hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] thuộc miền trong tam giác ABC. Tính thể tích hình chóp \[S.ABC\].
A.\[2{a^3}\sqrt 3 \]
B.\[6{a^3}\sqrt 3 \]
C.
D.\[2{a^3}\sqrt 2 \]
Giải bởi Vietjack
Phương pháp giải:
- Gọi H là hình chiếu của S thuộc miền trong tam giác \[ABC\], chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp \[\Delta ABC\].
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó.
- Sử dụng công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \[r = \frac{S}{p}\], với \[S,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} p\] lần lượt là diện tích và nửa chu vi tam giác.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao khối chóp.
- Tính thể tích khối chóp \[{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}}\].
Giải chi tiết:
![(VD): Cho hình chóp \[S.ABC\] có \[AB = 3a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BC = 4a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} CA = 5a\], các mặt bên tạo với đáy góc \[{60^0}\], hình chiếu vuông góc của S lên mặt p (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1649578518/1649578694-image25.png)
Vì chóp \[S.ABC\] có các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau và hình chiếu của S thuộc miền trong tam giác \[ABC\] nên hình chiếu của S là tâm đường tròn nội tiếp \[\Delta ABC\].
Gọi H là tâm đường tròn nội tiếp \[\Delta ABC\] \[ \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\]
Xét \[\Delta ABC\] có \[A{B^2} + B{C^2} = C{A^2} = 25{a^2}\] nên \[\Delta ABC\] vuông tại B (định lí Pytago đảo).
Trong \[\left( {ABC} \right)\] kẻ \[HK//BC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {K \in AB} \right)\] ta có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \bot SH}\\{AB \bot HK}\end{array}} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SHK} \right) \Rightarrow AB \bot SK\].
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB}\\{SK \subset \left( {SAB} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} SK \bot AB}\\{HK \subset \left( {ABC} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} HK \bot AB}\end{array}} \right.\]
\[ \Rightarrow \angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SK;HK} \right) = \angle SKH = {60^0}\].
Vì HK là bán kính đường tròn nội tiếp \[\Delta ABC\] nên \[HK = \frac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{p_{\Delta ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}.3a.4a}}{{\frac{{3a + 4a + 5a}}{2}}} = a\].
Xét tam giác vuông \[SHK\] ta có \[SH = HK.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \].
Vậy \[{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}a\sqrt 3 .\frac{1}{2}.3a.4a = 2\sqrt 3 {a^3}\].
Đáp án A
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình \[\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| = 2m - 1\] có đúng 6 nghiệm thực phân biệt.
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho 15 và mỗi chữ số đều không vượt quá 5.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số \[y = \frac{{mx + 4}}{{x + m}}\] nghịch biến trên khoảng \[\left( { - 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1} \right)?\]
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz,\] cho đường thẳng \[\Delta :{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{2}\] và hai mặt phẳng \[\left( P \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x - 2y + 3z = 0,\left( Q \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x - 2y + 3z + 4 = 0.\] Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng \[\Delta \] và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng \[\left( P \right)\] và \[\left( Q \right).\]
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a\sqrt 2 .\] Cạnh bên \[SA\] vuông góc với đáy. Góc giữa \[SC\] và mặt phẳng đáy bằng \[{45^0}.\] Gọi E là trung điểm của \[BC.\] Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \[DE\] và \[SC.\]
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz,\] cho hai đường thẳng \[{d_1}:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{x}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}\] và \[{d_2}:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}.\] Khoảng cách giữa hai đường thẳng này bằng:
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình vuông cạnh \[a\sqrt 3 \], \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\] và \[SA = a\sqrt 2 \]. Tính góc giữa SC và \[\left( {ABCD} \right)\].
Cho hàm số \[y = {x^3} - m{x^2} - {m^2}x + 8.\] Có bao nhiêu giá trị m nguyên để hàm số có điểm cực tiểu nằm hoàn toàn phía bên trên trục hoành?
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số \[y = \frac{8}{3}{x^3} + 2\ln x - mx\] đồng biến trên \[\left( {0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1} \right)?\]
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số \[y = {x^2} + 8\ln 2x - mx\] đồng biến trên \[\left( {0; + \infty } \right)\]?
Số nghiệm nguyên thuộc đoạn \[\left[ { - 99;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 100} \right]\] của bất phương trình \[{\left( {\sin \frac{\pi }{5}} \right)^x} \ge {\left( {\cos \frac{{3\pi }}{{10}}} \right)^{\frac{4}{x}}}\] là:
Cho cấp số nhân \[\left( {{u_n}} \right)\] thỏa mãn \[2\left( {{u_3} + {u_4} + {u_5}} \right) = {u_6} + {u_7} + {u_8}\]. Tính \[\frac{{{u_8} + {u_9} + {u_{10}}}}{{{u_2} + {u_3} + {u_4}}}\].
Biết rằng \[\int\limits_1^2 {\frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} + x}}dx = a + b\ln 3 + c\ln 2} \] với \[a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c\] là các số hữu tỉ. Tính \[2a + 3b - 4c.\]
