Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a.\) Lấy \(N,M\) là trung điểm của \(AB\) và \(AC.\) Tính khoảng cách \(d\) giữa \(CN\) và \(DM.\)
A.\(d = a\sqrt {\frac{3}{2}} .\)
B.\(d = \frac{{a\sqrt {10} }}{{10}}.\)
C.\(d = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)
D.\(d = \frac{{a\sqrt {70} }}{{35}}.\)
Giải bởi Vietjack
Gọi \(P\) là trung điểm của \(AN \Rightarrow MP//CN,MP \subset \left( {DMP} \right) \Rightarrow CN//\left( {DMP} \right)\)
\( \Rightarrow d\left( {CN,DM} \right) = d\left( {CN,\left( {DMP} \right)} \right) = d\left( {N,\left( {DMP} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {DMP} \right)} \right).\)
Ta có \(ABCD\) là tứ diện đều cạnh \(a \Rightarrow {V_{ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}.\)
Ta có \(\frac{{{V_{A.DMP}}}}{{{V_{A.DBC}}}} = \frac{{AP}}{{AB}}.\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{1}{8} \Rightarrow {V_{A.DMP}} = \frac{1}{8}{V_{A.DBC}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{96}}.\)
Tam giác \(ACD\) đều cạnh \(a,\) có \(M\) là trung điểm của \(AC \Rightarrow DM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)
Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a,\) có \(N\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow CN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow MP = \frac{1}{2}CN = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\)
Tam giác \(ADP,\) có \(AP = \frac{a}{4},AD = a,\widehat {PAD} = {60^0}.\)
\( \Rightarrow DP = \sqrt {A{D^2} + A{P^2} - 2.AD.AP.\cos \widehat {PAD}} = \frac{{a\sqrt {13} }}{4}.\)
Đặt \(p = \frac{{DM + DP + MP}}{2} = \frac{{a\left( {\sqrt {13} + 3\sqrt 3 } \right)}}{8}.\)
\( \Rightarrow {S_{\Delta DMP}} = \sqrt {p\left( {p - DM} \right)\left( {p - DP} \right)\left( {p - MP} \right)} = \frac{{{a^2}\sqrt {35} }}{{32}}\)
Lại có \({V_{A.DMP}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta DMP}}.d\left( {A,\left( {DMP} \right)} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {DMP} \right)} \right) = \frac{{3{V_{A.DMP}}}}{{{V_{\Delta DMP}}}} = \frac{{3.\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{96}}}}{{\frac{{{a^2}\sqrt {35} }}{{32}}}} = \frac{{a\sqrt {70} }}{{35}}.\)
Vậy \(d\left( {CN,DM} \right) = \frac{{a\sqrt {70} }}{{35}}.\)
Đáp án D
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho khối lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy và cạnh bên cùng bằng \(a.\) Tính thể tích của khối lăng trụ đó theo \(a.\)
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} + mx - \frac{1}{{5{x^2}}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)?\)
Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \({\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} + m{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = 1\) có hai nghiệm phân biệt là khoảng \(\left( {a;b} \right).\) Tính \(T = 3a + 8b.\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {{x^2} - 2x} \right),\) với mọi \(x \in \mathbb{R}.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(y = f\left( {{x^2} - 8x + m} \right)\) có 5 điểm cực trị?
Tìm tập xác định \(D\) của hàm số \(y = \ln \sqrt {{x^2} - 3x + 2} \)
Đường cong hình sau là đồ thị của một trong bốn hàm số được cho dưới đây, hỏi đó là hàm số nào?
Tính diện tích xung quanh \(S\) của hình nón có bán kính đáy \(r = 4\) và chiều cao \(h = 3.\)
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 3\) và công sai \(d = 2.\) Tính \({u_9}.\)
Tìm tập nghiệm \(S\) của phương trình \({3^{2x + 1}} = \frac{1}{3}.\)
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right),SA = a\), tam giác \(ABC\) đều có cạnh \(2a.\) Tính thể tích khối chóp \(S.ABC.\)
Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình \({\log _3}x.{\log _9}x.{\log _{27}}x.{\log _{81}}x = \frac{2}{3}\) bằng
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = x{e^x}\) tại điểm thuộc đồ thị tại điểm có hoành đồ \({x_0} = 1.\)
Diện tích xung quanh \({S_{xq}}\) của hình trụ xoay có bán kính đáy \(r\) và đường cao \(h\) là
