Cho một mô hình tứ diện đều \(ABCD\) cạnh 1 và vòng tròn thép có bán kính \(R.\) Hỏi có thể cho mô hình tứ diện trên đi qua vòng tròn đó (bỏ qua bề dày của vòng tròn) thì bán kính \(R\) nhỏ nhất gần với số nào trong các số sau?

Gọi tứ diện đều là \(ABCD,\) rõ ràng nếu bán kính \(R\) của vòng thép bằng bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABD\) ta có thể cho mô hình tứ diện đi qua được vòng tròn, do đó ta chỉ cần xét các vòng tròn có bán kính không lớn hơn bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABD.\)

Đưa đỉnh C qua vòng thép và đặt đỉnh \(A\) lên vòng thép, giả sử vòng thép tiếp xúc với hai cạnh \(BC\) và \(CD\) lần lượt tại \(M\) và \(N,\) có thể thấy trong trường hợp này ta luôn đưa được mô hình tứ diện qua vòng thép bằng cách cho đỉnh \(A\) đi qua trước rồi đổi sang các đỉnh \(B\) hoặc \(D.\)

Do vậy để tìm vòng thép có bán kính nhỏ nhất ta chỉ cần tìm các điểm \(M,N\) lần lượt trên các cạnh \(BC,CD\) sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AMN\) nhỏ nhất.

Do tính đối xứng của hình ta chỉ cần xét với tam giác \(AMN\) cân tại \(A.\)

Đặt \(CM = x,\left( {0 < x < 1} \right),\) ta có \(MN = CM = CN = x.\)

\(A{M^2} = C{M^2} + C{A^2} - 2CM.CA.\cos {60^0} = {x^2} + 1 - 2x.\frac{1}{2} = {x^2} - x + 1 \Rightarrow AM = \sqrt {{x^2} - x + 1} \)

\(AN = AM = \sqrt {{x^2} - x + 1} .\)

Ta có \(\cos \widehat {MAN} = \frac{{A{M^2} + A{N^2} - M{N^2}}}{{2.AM.AN}} = \frac{{2\left( {{x^2} - x + 1} \right) - {x^2}}}{{2\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{2\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\)

\(\sin \widehat {MAN} = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{2\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {{x^2}\left( {3{x^2} - 4x + 4} \right)} }}{{2\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\)

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AMN\) là

\({R_{AMN}} = \frac{{MN}}{{2\sin \widehat {MAN}}} = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{\sqrt {3{x^2} - 4x + 4} }}\)

\(R\) chính là giá trị nhỏ nhất của \({R_{AMN}}\) trên khoảng \(\left( {0;1} \right).\)

Xét \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{\sqrt {3{x^2} - 4x + 4} }},x \in \left( {0;1} \right),\) sử dụng Casio ta được giá trị nhỏ nhất gần đúng của \(f\left( x \right)\) là \(0.4478.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất mà \(R\) có thể nhận được gần với \(0.448.\)

Đáp án D