Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có độ dài cạnh bên là $2a,$ đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A,$ góc giữa $AC'$ và mặt phẳng $\left( {BCC'B'} \right)$ bằng ${30^0}$ (tham khảo hình vẽ).

Tính theo $a$ thể tích khối trụ có hai đáy là hai đường tròn ngoại tiếp hai đáy của lăng trụ $ABC.A'B'C'.$ 

Cho hai số thực dương $a,b.$ Rút gọn biểu thức ta thu được $A = {a^m}.{b^n}.$

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ vuông tại $A,AB = a,BC = 2a,$ mặt bên $ACC'A'$ là hình vuông. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $AC,CC',A'B'$ và $H$ là hình chiếu của $A$ lên $BC.$ Tính theo $a$ khoảng cách giữa hai đường thẳng $MP$ và $HN.$

Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2}{{ - x + 3}}?$ 

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{{2x - 1}}{{x - 2}},$ biết tiếp tuyến có hệ số góc $k = - 3$ 

Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 5,BC = 4$.  Tính thể tích của khối lăng trụ tạo thành khi cho hình chữ nhật $ABCD$ quay quanh $AB.$

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[ { - 20;2} \right]$ để hàm số $y=x^3-x^2+3mx-1$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$ 

Một nhóm có 6 học sinh gồm 4 nam và 2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh trong đó có đúng 2 học sinh nam? 

Cho số thực dương $a$ khác 1, biểu thức $D = {\log _{{a^3}}}a$ có giá trị bằng bao nhiêu? 

Cắt hình nón $S$ bởi một mặt phẳng đi qua trục của hình nón ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng $a\sqrt 2 .$ Tính theo $a$ thể tích của khối nón đã cho. 

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right),$ hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ vuông góc với nhau, $SB = a\sqrt 3 ,\widehat {BSC} = {45^0},\widehat {ASB} = {30^0}.$ Thể tích khối chóp SABC là $V.$ Tìm tỉ số $\frac{{{a^3}}}{V}.$ 

Đồ thị hàm số $y = - {x^4} + {x^2} + 2$ cắt trục $Oy$ tại điểm nào?

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ { - 2;4} \right]$ và có đồ thị như hình vẽ.

Phương trình $3f\left( x \right) - 4 = 0$ có bao nhiêu nghiệm thực trên đoạn $\left[ { - 2;4} \right]?$

Cho hình hộp đứng $BACD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ có đáy là hình thoi cạnh $a,\widehat{BAD}={120}^0.$ Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABD,$ góc tạo bởi $C'G$ và mặt đáy bằng ${30^0}.$ Tính theo $a$ thể tích khối hộp $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}.$

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = {x^3} - 3{x^2}$ trên $\left[ { - 1;2} \right].$

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$, liên tục trên mỗi khoảng xác định có bảng biến thiên như sau

Đồ thị $y = \frac{1}{{f\left( x \right) + 2}}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?