Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều và \(A'A = A'B = A'C.\) Biết rằng các cạnh bên của lăng trụ tạo với đáy một góc \({60^0}\) và khoảng cách giữa đường thẳng \(AA'\) và mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\) bằng 1. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
A.\(\frac{{4\sqrt 3 }}{9}\).
B.
C.\(\frac{{16\sqrt 3 }}{9}\).
D.\(\frac{{16\sqrt 3 }}{{18}}\).
Giải bởi Vietjack
* Gọi \(H\) là trung điểm \(BC,O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC.\)
Vì \(A'A = A'B = A'C\) nên hình chiếu của \(A'\) lên \(\left( {ABC} \right)\) là điểm \(O\) hay \(A'O \bot \left( {ABC} \right).\)
Gọi \(E\) là điểm sao cho \(BCAE\) là hình bình hành.
\( \Leftrightarrow d\left( {AA';\left( {BCC'B'} \right)} \right) = d\left( {\left( {AA'E} \right);\left( {BCC'B'} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {AA'E} \right)} \right).\)
* Gọi \(K\) là hình chiếu của \(O\) lên \(AA'.\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}A'O \bot AE\\A'O \bot AE\end{array} \right. \Rightarrow \left( {AA'O} \right) \bot AE \Rightarrow OK \bot AE\)
\( \Rightarrow OK \bot \left( {AA'E} \right).\)
* Ta có: \(\frac{{d\left( {O;\left( {A'AE} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {A'AE} \right)} \right)}} = \frac{{OK}}{{d\left( {H;\left( {A'AE} \right)} \right)}} = \frac{{AO}}{{AH}} = \frac{2}{3} \Rightarrow OK = \frac{2}{3}.\)
* Góc giữa \(AA'\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc giữa \(AA'\) và \(AO\) bằng \({60^0}.\)
\( \Rightarrow AO = \frac{{OK}}{{\sin {{60}^0}}} = \frac{4}{{3\sqrt 3 }} = \frac{{AB\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow AB = \frac{4}{3}.\)
* \(A'O = AO.\tan {60^0} = \frac{4}{3}.\)
Vậy \(V = A'O.{S_{ABC}} = \frac{4}{3}.\frac{{{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{16\sqrt 3 }}{{27}}.\)
Đáp án B.
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 200k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R},\) có \(f'\left( x \right) = {\left( {x + 2} \right)^2}{\left( {x - 2} \right)^3}\left( { - x + 5} \right).\) Số điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là
Cho parabol \(\left( P \right):y = - {x^2}\) và đồ thị hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx - 2\) có đồ thị như hình vẽ. Tính giá trị của biểu thức \(P = a - 3b - 5c.\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật có \(AB = a;BC = 2a.\) Hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh \(SC\) hợp với mặt đáy góc \({60^0}.\) Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\) theo \(a.\)
Cho biểu thức \(P = \sqrt[4]{{x\sqrt[3]{{{x^2}.\sqrt[3]{x}}}}},x >0.\) Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy ABCD là hình chữ nhật với cạnh \(AD = 2CD.\) Biết hai mặt \(\left( {SAC} \right),\left( {SBD} \right)\) cùng vuông góc với mặt đáy và đoạn \(BD = 6;\) góc giữa \(\left( {SCD} \right)\) và mặt đáy bằng \({60^0}.\) Hai điểm \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA,SB.\) Thể tích khối đa diện \(ABCDMN\) bằng
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R},\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^3}{\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x + 2} \right).\) Hỏi hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số \(y = \left( {m - 1} \right){x^3} - 3\left( {m - 1} \right){x^2} + 3x + 2\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Cho mặt nón tròn xoay đỉnh \(S\) đáy là đường tròn tâm \(O\) có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh bằng \(a.{\rm{ }}A,B\) là hai điểm bất kì trên đường tròn \(\left( O \right).\) Thể tích khối chóp \(S.OAB\) đạt giá trị lớn nhất bằng
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\) với \(AD = DC = a,AB = 2a.\) Hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\)cùng vuông góc với đáy. Góc giữa \(SC\) và mặt đáy bằng \({60^0}.\) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(SB.\)
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đại hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {{x^2} - 4x} \right)\). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {2{x^2} - 12x + m} \right)\) có đúng 5 điểm cực trị?
Có bao nhiêu giá trị nguyên \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - mx + 4\) có hai điểm cực trị thuộc khoảng \(\left( { - 3;3} \right)?\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Đồ thị của hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên.
Đặt \(h\left( x \right) = f\left( x \right) - \frac{{{x^2}}}{2}.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Anh Minh muốn xây dựng một hố ga không có nắp đậy dạng hình hộp chữ nhật có thể tích chứa được \(3200c{m^3}\), tỉ số giữa chiều cao và chiều rộng của hố ga bằng 2 . Xác định diện tích đáy của hố ga để khi xây hố tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất.
Cho tứ diện \(ABCD\) có độ dài cạnh bằng \(a,\left( S \right)\) là mặt tiếp xúc với sáu cạnh của tứ diện \(ABCD.M\) là một điểm thay đổi trên \(\left( S \right).\) Tính tổng \(T = M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2}.\)
Cho các số thực dương \(x,y,z\) và thỏa mãn \(x + y + z = 3.\) Biểu thức \(P = {x^4} + {y^4} + 8{z^4}\) đạt GTNN bằng \(\frac{a}{b},\) trong đó \(a,b\) là các số tự nhiên dương, \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính \(a - b.\)
