Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B,BC = 2a,BA = a\sqrt 3 .\) Biết tam giác \(SAB\) vuông tại \(A,\) tam giác \(SBC\) cân tại \(S,\left( {SAB} \right)\) tạo với mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) một góc \(\varphi \) thỏa mãn \(\sin \varphi = \sqrt {\frac{{20}}{{21}}} .\) Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng
A.\(2\sqrt 2 {a^3}.\)
B.\(6\sqrt 2 {a^3}.\)
C.\(\sqrt 2 {a^3}.\)
D.\(\frac{{2\sqrt 2 {a^3}}}{3}.\)
Giải bởi Vietjack
Đáp án C.
+ Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC,\) dựng hình chữ nhật \(ABMH\)
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot SH\\BC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\)
Kẻ \(HI \bot SA \Rightarrow HI \bot \left( {SAB} \right).\)
\(HJ \bot SM \Rightarrow HJ \bot \left( {SBC} \right)\)
\( \Rightarrow \left( {\left( {SAB} \right),\left( {SBC} \right)} \right) = \angle IHJ.\)
+ Đặt \(SH = x \Rightarrow HI = \frac{{ax}}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }};HJ = \frac{{a\sqrt 3 a}}{{\sqrt {3{a^2} + {x^2}} }};SI = \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }};SJ = \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {3{a^2} + {x^2}} }}.\)
\(\cos ASM = \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} .\sqrt {3{a^2} + {x^2}} }};I{J^2} = S{I^2} + S{J^2} - 2SI.SJ.\cos ASM = \frac{{4{a^2}{x^4}}}{{\left( {{a^2} + {x^2}} \right)\left( {3{a^2} + {x^2}} \right)}}\)
\(\sin \varphi = \sqrt {\frac{{20}}{{21}}} \Rightarrow \cos \varphi = \sqrt {\frac{1}{{21}}} .\)
\(\cos \varphi = \frac{{H{I^2} + H{J^2} - I{J^2}}}{{2HI.HJ}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{2}{{\sqrt {21} }}.\frac{{ax}}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}.\frac{{a\sqrt 3 a}}{{\sqrt {3{a^2} + {x^2}} }} = \frac{{{a^2}{x^2}}}{{{a^2} + {x^2}}} + \frac{{3{a^2}{x^2}}}{{3{a^2} + {x^2}}} - \frac{{4{a^2}{x^4}}}{{\left( {{a^2} + {x^2}} \right)\left( {3{a^2} + {x^2}} \right)}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{2}{{\sqrt 7 }}\sqrt {{a^2} + {x^2}} .\sqrt {3{a^2} + {x^2}} = 6{a^2} \Leftrightarrow x = a\sqrt 6 .\)
\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = {a^3}\sqrt 2 .\)
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a,SA\) vuông góc với mặt đáy và \(SA = a\sqrt 2 .\) Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng
Đường cong ở hình dưới đây là đồ thị của hàm số \(y = \frac{{x + a}}{{bx + c}},\left( {a,b,c \in \mathbb{Z}} \right).\) Khi đó giá trị biểu thức \(T = a - 3b - 2c\) bằng
Cho hàm số \(y = - {x^3} - 3\left( {m + 1} \right){x^2} + 3\left( {2m - 1} \right)x + 2020.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên \(m\) để hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)?\)
Phương trình tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{4 - 3x}}{{4x + 5}}\) là
Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x + 4} - 2}}{{{x^2} - x}}\) là
Cho lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A,AB = a\sqrt 3 ,AC = a.\) Điểm \(A'\) cách đều ba điểm \(A,B,C.\) Góc giữa đường thẳng \(AB'\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^0}.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BC\) bằng
Cho hàm số \(f\left( x \right),\) bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\) như sau:
Hàm số \(y = f\left( {1 - 2x} \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Cho \(x,y,z\) là ba số dương lập thành cấp số nhân; còn \({\log _a}x;{\log _{\sqrt a }}y;{\log _{\sqrt[3]{a}}}z\) lập thành cấp số cộng. Tính giá trị của biểu thức \(Q = \frac{{2017x}}{y} + \frac{{2y}}{z} + \frac{z}{x}.\)
Đội văn nghệ của lớp 12A có 5 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh của đội văn nghệ sao cho 2 học sinh có 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ:
Gọi \(S\) là tập các giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {4\left| {\sin x} \right| + m} \right) - 3 = 0\) có đúng 12 nghiệm phân biệt thuộc nửa khoảng \(\left( {0;4\pi } \right].\) Tổng các phần tử của \(S\) bằng
Gọi \(S\) là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau lập từ các số \(0;1;2;3;4;5;6;7.\) Chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập hợp \(S.\) Tính xác suất để số được chọn có đúng 2 chữ số chẵn.
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) bán kính \(R\) có diện tích bằng
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^5} + 3{x^3} - 4m.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {\sqrt[3]{{f\left( x \right) + m}}} \right) = {x^3} - m\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {1;2} \right]?\)
