Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) $\left\{\begin{array}{l}x-y=3\\ 3x-4y=2\end{array}\right.$;

b) $\left\{\begin{array}{l}7x-3y=5\\ 4x+y=2\end{array}\right.$;

c) $\left\{\begin{array}{l}x+3y=-2\\ 5x-4y=11\end{array}\right.$

Cách 1:

Từ (1) rút ra được y = x – 3

Thế vào phương trình (2) ta được:

3x – 4.(x – 3) = 2 ⇔ 3x – 4x + 12 = 2 ⇔ x = 10

Từ x = 10 ⇒ y = x – 3 = 7.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (10 ; 7).

Từ (2) rút ra được y = -4x + 2.

Thế y = -4x + 2 vào phương trình (1) ta được :

7x – 3.(-4x+2) = 5 ⇔ 7x + 12x – 6 = 5 ⇔ 19x = 11 ⇔ x = $\frac{11}{9}$ 

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(\frac{11}{9};\frac{-6}{19}\right)$ 

Từ (1) rút x theo y ta được: x = -3y – 2

Thế x = -3y – 2 vào phương trình (2) ta được :

5.(-3y – 2) – 4y = 11 ⇔ -15y – 10 – 4y = 11 ⇔ -19y = 21 ⇔ y = $\frac{-21}{19}$ 

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(\frac{25}{19};\frac{-21}{19}\right)$.

Cách 2:

a) (I) $\left\{\begin{array}{l}x-y=3\\ 3x-4y=2\end{array}\right.$

Ta có (biểu diễn x theo y từ phương trình thứ nhất):

 $$\begin{gathered} \left(I\right)\iff \left\{\begin{array}{l}x=y+3\\ 3(y+3)-4y=2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=y+3\\ 3y+9-4y=2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=y+3\\ -y=-7\end{array} \iff \left\{\begin{array}{l}x=10\\ y=7\end{array}\right.\right. \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (10;7).

b) (II) $\left\{\begin{array}{l}7x-3y=5\\ 4x+y=2\end{array}\right.$

Ta có (biểu diễn y theo x từ phương trình thứ hai:

 $$\begin{gathered} \left(II\right)\iff \left\{\begin{array}{l}7x-3(-4x+2)=5\\ y=-4x+2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}7x+12y-6=5\\ y=-4x+2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}19x=11\\ y=-4x+2\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{11}{19}\\ y=-4x+2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{11}{19}\\ y=-\frac{6}{19}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(\frac{11}{19};\frac{-6}{19}\right)$

 c) (III) $\left\{\begin{array}{l}x+3y=-2\\ 5x-4y=11\end{array}\right.$

Ta có (biểu diễn x theo y từ phương trình thứ nhất:

$$\begin{gathered} \left(III\right)\iff \left\{\begin{array}{l}x=-3y-2\\ 5(-3y-2)-4y=11\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}x=-3y-2\\ -15y-10-4y=11\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=-3y-2\\ -19y=21\end{array} \iff \left\{\begin{array}{l}x=-3y-2\\ y=-\frac{21}{19}\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{25}{19}\\ y=-\frac{21}{19}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(\frac{25}{19};\frac{-21}{19}\right)$.