Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+3y=1\\ (a^2+1)x+6y=2a\end{array}\right.$trong mỗi trường hợp sau:

a) a = -1;    b) a = 0;    c) a = 1.

Cách 1

Ta có: $\left\{\begin{array}{ll}x+3y=1& \left(1\right)\\ \left(a^2+1\right)x+6y=2a& \left(2\right)\end{array}\right.$

Từ (1) rút ra được x = 1 – 3y (*)

Thay vào phương trình (2) ta được :

($a^2$ + 1).(1 – 3y) + 6y = 2a

⇔ $a^2$ + 1 – 3($a^2$+ 1)y + 6y = 2a

⇔ $a^2$ + 1- 2a = 3$a^2$.y – 6y + 3y

⇔ ( a - 1)2 = 3$a^2$y – 3y

⇔ 3($a^2$ – 1).y = (a – 1)2 (**)

a) a = -1, phương trình (**) trở thành : 0y = 4

Phương trình trên vô nghiệm

Vậy hệ phương trình khi a = -1 vô nghiệm.

b) a = 0, phương trình (**) trở thành -3y = 1 ⇔ $y=\frac{-1}{3}$

Thay $y=\frac{-1}{3}$ vào (*) ta được x = 2.

Vậy hệ phương trình khi a = 0 có nghiệm duy nhất $\left(2;\frac{-1}{3}\right)$.

c) a = 1, phương trình (**) trở thành: 0y = 0

Phương trình nghiệm đúng với mọi y.

Vậy hệ phương trình khi a = 1 có vô số nghiệm dạng (1 – 3y; y), (y ∈ R).

Cách 2:

a) Thay a = -1 vào hệ phương trình ta được hệ phương trình mới:

(I) $\left\{\begin{array}{l}x+3y=1\\ 2x+6y=-2\end{array}\right.$

Ta có (biểu diễn x theo y từ phương trình thứ nhất):

$$\begin{gathered} \left(I\right) \iff \left\{\begin{array}{l}x=-3y+1\\ 2(-3y+1)+6y=-2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=-3y+1\\ -6y+2+6y=-2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=-3y+1\\ 0.y=-4 (vô lý)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình vô nghiệm khi a = - 1.

b) Thay a = 0 vào hệ phương trình ta được hệ phương trình mới:

(II) $\left\{\begin{array}{l}x+3y=1\\ x+6y=0\end{array}\right.$

Ta có (biểu diễn x theo y từ phương trình thứ hai):

$$\begin{gathered} \left(II\right) \iff \left\{\begin{array}{l}x+3y=1\\ x=-6y\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}-6y+3y=1\\ x=-6y\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}-3y=1\\ x=-6y\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=\frac{-1}{3}\\ x=2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy với a = 0 hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(2;\frac{-1}{3}\right)$.

c) Thay a=1 vào hệ phương trình ta được hệ phương trình mới:

(III) $\left\{\begin{array}{l}x+3y=1\\ 2x+6y=2\end{array}\right.$

Ta có (biểu diễn x theo y từ phương trình thứ nhất):

$$\begin{gathered} \left(III\right) \iff \left\{\begin{array}{l}x=-3y+1\\ 2(-3y+1)+6y=2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=-3y+1\\ -6y+2+6y=2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=-3y+1\\ 0.y=0 (luôn đúng)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy với a= 1 hệ phương trình có vô số nghiệm với nghiệm tổng quát là (-3y + 1; y), (y ∈ R).