Một tổ có 10 học sinh trong đó có An, Bình, Chi, Dung và Hương. Có bao nhiêu các xếp 10 bạn đó vào 10 ghế sắp thành hàng ngang sao cho An, Bình ngồi cạnh nhau và Chi, Dung, Hương cũng ngồi cạnh nhau?

Cho hàm số $\mathrm{y} = \sin 4\mathrm{x}$

a) Chứng minh rằng $\sin 4(\mathrm{x} + \frac{\mathrm{k\pi }}{2}) = \sin 4\mathrm{x}$ với $\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

Từ đó vẽ đồ thị của hàm số

$\mathrm{y} = \sin 4\mathrm{x}; \left({\mathrm{C}}_1\right)$

$\mathrm{y} = \sin 4\mathrm{x} + 1. \left({\mathrm{C}}_2\right)$

b) Xác định giá trị của m để phương trình: $\sin 4\mathrm{x} + 1 = \mathrm{m} \left(1\right)$

- Có nghiệm

- Vô nghiệm

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (${\mathrm{C}}_2$) tại điểm có hoành độ ${\mathrm{x}}_0=\frac{\mathrm{\pi }}{24}$

Giả sử A, B, C là ba góc của tam giác ABC, chứng minh rằng:

a) $\frac{\sin \mathrm{C}}{\mathrm{cosAcosB}}=\tan \mathrm{A}+\tan \mathrm{B}$;

b) $\sin \mathrm{A}+\sin \mathrm{B}+\sin \mathrm{C}=4\cos \frac{\mathrm{A}}{2}\cos \frac{\mathrm{B}}{2}\cos \frac{\mathrm{C}}{2}$;

c) $\frac{\sin \mathrm{A}+ \sin \mathrm{B}+ \sin \mathrm{C}}{\sin \mathrm{A}+\sin \mathrm{B}-\sin \mathrm{C}}=\cot \frac{\mathrm{A}}{2}\cot \frac{\mathrm{B}}{2}.$

Cho hàm số

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^2\sin \frac{1}{\mathrm{x}},\mathrm{nêu} \mathrm{x}\ne 0 \\ \mathrm{A} , \mathrm{nêu} \mathrm{x}=0\end{array}\right.$

Xác định A để f(x) liên tục tại x = 0. Với giá trị A tìm được, hàm số có đạo hàm tại x = 0 không?

Tính các giới hạn

a) $\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{\lim }\frac{\mathrm{sinx}-\mathrm{sina}}{\mathrm{x}-\mathrm{a}}$;

b) $\underset{\mathrm{x}\to 1}{\lim }(1-\mathrm{x})\tan \frac{\mathrm{\pi x}}{2}$;

c) $\underset{\mathrm{x}\to \frac{\mathrm{\pi }}{3}}{\lim }\frac{2{\sin }^2\mathrm{x}-\mathrm{sinx}-1}{2{\sin }^2\mathrm{x}-3\mathrm{sinx}+1}$;

d) $\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{tanx}-\mathrm{sinx}}{{\sin }^3\mathrm{x}}$.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

$\mathrm{y} = {\sin }^2\mathrm{x} + 4\mathrm{sinx}.\mathrm{cosx} - 3{\cos }^2\mathrm{x} + 1$

Xét tính bị chặn của các dãy số với số hạng tổng quát sau:

a) ${\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}=\frac{5{\mathrm{n}}^2}{{\mathrm{n}}^2+3}$;

b) ${\mathrm{y}}_{\mathrm{n}}={(-1)}^{\mathrm{n}}\frac{2\mathrm{n}}{\mathrm{n}+1}\sin \mathrm{n}$;

${\mathrm{z}}_{\mathrm{n}}=\mathrm{ncosn\pi }$ .

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $\mathrm{y}=\frac{1+\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2}{1-\mathrm{x}+{\mathrm{x}}^2}$;

b) $\mathrm{y}=\frac{(2-{\mathrm{x}}^2)(3-{\mathrm{x}}^3)}{{(1-\mathrm{x})}^2}$;

c) $\mathrm{y}=\cos 2\mathrm{x}-2\mathrm{sinx}$;

d) $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{cosx}}{2{\sin }^2\mathrm{x}}$;

e) $\mathrm{y}={\cos }^2\frac{\mathrm{x}}{3}\tan \frac{\mathrm{x}}{2}$;

f) $\mathrm{y}=\sqrt{\sin \sqrt{\left(2\mathrm{x}-\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)}}$;

g) $\mathrm{y}=\cos \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+1}$;

h) $\mathrm{y}=\frac{{\mathrm{x}}^2-1}{\sin 3\mathrm{x}}$;

i) $\mathrm{y}=3{\sin }^2\mathrm{x}.\mathrm{cosx}+{\cos }^2\mathrm{x}$;

k) $\mathrm{y}=\sqrt{7-4\mathrm{x}}.\cot 3\mathrm{x}$.

Tính các giới hạn sau

a) $\underset{\mathrm{x}\to 1}{\lim }\frac{4x^5+9x+7}{3x^6+x^3+1}$;               b) $\underset{\mathrm{x}\to 2}{\lim }\frac{{\mathrm{x}}^3+3{\mathrm{x}}^2-9\mathrm{x}-2}{{\mathrm{x}}^3-\mathrm{x}-6}$;

c) $\underset{\mathrm{x}\to -1}{\lim }\frac{\mathrm{x}+1}{\sqrt{6{\mathrm{x}}^2+3}+3\mathrm{x}}$;          d) $\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{9+5\mathrm{x}+4{\mathrm{x}}^2}-3}{\mathrm{x}}$;

e) $\underset{\mathrm{x}\to 2}{\lim }\frac{\sqrt[3]{10-\mathrm{x}}-2}{\mathrm{x}-2}$;                f) $\underset{\mathrm{x}\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{\mathrm{x}+8}-\sqrt{8\mathrm{x}+1}}{\sqrt{5-\mathrm{x}}-\sqrt{7\mathrm{x}-3}}$.

Chứng minh các hệ thức sau:

a) $\mathrm{sina}+ \sin \left(\mathrm{a}+\frac{14}{3}\mathrm{\pi }\right)+\sin \left(\mathrm{a}-\frac{8}{3}\mathrm{\pi }\right)=0$;

b) $\frac{\sin 4\mathrm{a}}{1+\cos 4\mathrm{a}}.\frac{\cos 2\mathrm{a}}{1+\cos 2\mathrm{a}}=\cot \left(\frac{3}{2}\mathrm{\pi }-\mathrm{a}\right)$;

c) ${\sin }^2(45°+\mathrm{\alpha })-{\sin }^2(30°-\mathrm{\alpha })-\sin 15°\cos (15°+2\mathrm{\alpha })=\sin 2\mathrm{\alpha }$;

d) ${\left(\mathrm{cosa}-\mathrm{cosb}\right)}^2-{(\mathrm{sina}-\mathrm{sinb})}^2=-4{\sin }^2\frac{\mathrm{a}-\mathrm{b}}{2}\cos (\mathrm{a}+\mathrm{b})$;

Biến đổi thành tích

$\mathrm{a}) 1+\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}+3\mathrm{\alpha }\right)-\sin \left(\frac{3}{2}\mathrm{\pi }-3\mathrm{\alpha }\right)+\cot \left(\frac{5}{2}\mathrm{\pi }+3\mathrm{\alpha }\right)$;

b) $\frac{\cos 7\mathrm{\alpha }-\cos 8\mathrm{\alpha }-\cos 9\mathrm{\alpha }+\cos 10\mathrm{\alpha }}{\sin 7\mathrm{\alpha }-\sin 8\mathrm{\alpha }-\sin 9\mathrm{\alpha }+\sin 10\mathrm{\alpha }}$;

c) $-\cos 5\mathrm{acos}4\mathrm{a}-\cos 4\mathrm{a} \cos 3\mathrm{a}+2{\cos }^{2}2\mathrm{a} \mathrm{cosa}$.

Tìm cấp số cộng ${\mathrm{a}}_1, {\mathrm{a}}_2, {\mathrm{a}}_3, {\mathrm{a}}_4, {\mathrm{a}}_5$, biết rằng

${\mathrm{a}}_1 + {\mathrm{a}}_{3 }+ {\mathrm{a}}_5 = -12$ và ${\mathrm{a}}_1{\mathrm{a}}_3{\mathrm{a}}_{5 }= 80$

Hãy tính giới hạn $\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}$ :

a) ${\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}=\frac{\sqrt{\mathrm{n}}}{\sqrt{\mathrm{n}+1}+\sqrt{\mathrm{n}}}$;

b) ${\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}=\sqrt[3]{1+{\mathrm{n}}^3}-\mathrm{n}$;

c) ${\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}={\mathrm{n}}^2(\mathrm{n}-\sqrt{{\mathrm{n}}^2+1})$;

d) ${\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}=\sqrt[3]{{\mathrm{n}}^2-{\mathrm{n}}^3}+\mathrm{n}$.

Giải các phương trình

a) $\sin 2\mathrm{x}={\cos }^4\frac{\mathrm{x}}{4}-{\sin }^4\frac{\mathrm{x}}{2}$;

b) $3\sin 5\mathrm{x}-2\cos 5\mathrm{x}=3$;

c) $\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}+5\mathrm{x}\right)+\sin \mathrm{x}=2\cos 3\mathrm{x};$

d) $\sin 2z+\cos 2z=\sqrt{2}\sin 3z$.

Giải các phương trình

a) ${\cos }^2\mathrm{x}+{\cos }^{2}2\mathrm{x}-{\cos }^{2}3\mathrm{x}-{\cos }^{2}4\mathrm{x}=0$;

b) $\cos 4\mathrm{x} \cos (\mathrm{\pi }+2\mathrm{x})-\sin 2\mathrm{x} \cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-4\mathrm{x}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 4\mathrm{x};$

c) $\tan (120°+3\mathrm{x})-\tan (140°-\mathrm{x})=2\sin (80°+2\mathrm{x});$

d) ${\tan }^2\frac{\mathrm{x}}{2}+{\sin }^2\frac{\mathrm{x}}{2}\tan \frac{\mathrm{x}}{2}+{\cos }^2\frac{\mathrm{x}}{2}.\cot \frac{\mathrm{x}}{2}+{\cot }^2\frac{\mathrm{x}}{2}+\mathrm{sinx}=4$;

e) $\frac{\sin 2\mathrm{t}+2{\cos }^2\mathrm{t}-1}{\mathrm{cost}-\cos 3\mathrm{t}+\sin 3\mathrm{t}-\mathrm{sint}}=\mathrm{cost}.$

Tinh giới hạn của hàm số $\mathrm{x} \to \infty$

a) ${\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}=\frac{\sqrt{{\mathrm{n}}^2+1}+\sqrt{\mathrm{n}}}{\sqrt[3]{{\mathrm{n}}^3+\mathrm{n}}-\mathrm{n}}$;

b) ${\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}=\left(\mathrm{n}-\frac{1}{\mathrm{n}}\right)\left(\frac{1-4\mathrm{n}}{2{\mathrm{n}}^2}\right)$.